Subgroups — #37694

Order 256.

1656 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2851	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2709	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2673	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2619	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2445	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2405	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2290	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
18	#540	—	2	8	no	—
19	C₂×#127	—	2	8	no	—
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#387	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	2	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#385	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	2	yes	—
65	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	#380	C₂²	1	2	yes	—
67	#379	C₂²	1	4	yes	—
68	#379	C₂²	1	4	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	#127	—	2	8	no	—
96	#127	—	2	16	no	—
97	#127	—	2	4	no	—
98	#127	D₄	1	8	yes	complemented
99	#125	—	2	4	no	—
100	#123	—	2	16	no	—
101	#123	—	4	8	no	—
102	#121	—	2	16	no	—
103	#121	—	2	8	no	—
104	#121	—	4	8	no	—
105	#121	—	4	4	no	—
106	#120	—	4	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	#117	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	#95	C₂³	1	2	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	2	yes	—
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂⁴	—	2	8	no	—
153	C₂⁴	—	2	8	no	—
154	C₂⁴	—	2	8	no	—
155	C₂⁴	—	2	8	no	—
156	C₂⁴	—	4	4	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	8	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	4	32	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	64	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	4	16	no	—
273	C₂³	—	4	16	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	16	no	—
276	C₂³	—	8	8	no	—
277	C₂³	—	8	8	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
280	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
281	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
283	D₄	—	2	16	no	—
284	D₄	—	4	16	no	—
285	D₄	—	4	16	no	—
286	D₄	—	4	16	no	—
287	D₄	—	4	16	no	—
288	D₄	—	4	16	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	8	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	—	8	8	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	1	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	8	32	no	—
353	C₂²	#540	1	4	yes	complemented
354	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	4	1	no	—
363	C₄	—	4	1	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	#546	1	4	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	4	8	no	—
372	C₂	—	8	1	no	—
373	C₂	—	8	4	no	—
374	C₂	C₂×#540	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3484	1	2	yes	—
377	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#3543	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂²×#127	C₂	semidirect
3. #2851	C₂	semidirect
4. #2709	C₂	semidirect
5. #2673	C₂	semidirect
6. #2641	C₂	semidirect
7. #2619	C₂	semidirect
8. #2445	C₂	semidirect
9. #2428	C₂	semidirect
10. #2410	C₂	semidirect
11. #2408	C₂	semidirect
12. #2405	C₂	semidirect
13. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
14. #2328	C₂	semidirect
15. #2290	C₂	semidirect
24. C₂×#125	C₂²	semidirect
25. C₂×#123	C₂²	semidirect
26. C₂×#123	C₂²	semidirect
27. C₂×#121	C₂²	semidirect
28. C₂×#121	C₂²	semidirect
29. C₂×#121	C₂²	semidirect
30. C₂×#121	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
35. C₂×#117	C₂²	semidirect
38. #394	C₂²	semidirect
39. #394	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #394	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
44. #394	C₂²	semidirect
45. #392	C₂²	semidirect
46. #392	C₂²	semidirect
47. #392	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #387	C₂²	semidirect
55. #387	C₂²	semidirect
57. #386	C₂²	semidirect
58. #386	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #386	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
65. #382	C₂²	semidirect
69. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
71. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
72. #376	C₂²	semidirect
98. #127	D₄	semidirect
353. C₂²	#540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂²×#127	2
#2851	2
#2709	2
#2673	2
#2641	2
#2619	2
#2445	2
#2428	2
#2410	2
#2408	2
#2405	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2328	2
#2290	2