Subgroups — #37695

Order 256.

1116 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2851	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2716	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2713	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2621	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2481	C₂	1	4	yes	maximal
9	#2473	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2429	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2409	C₂	1	2	yes	maximal
13	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2327	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2290	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#541	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#125	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#400	C₂²	1	4	yes	—
35	#400	C₂²	1	4	yes	—
36	#400	C₂²	1	4	yes	—
37	#398	C₂²	1	4	yes	—
38	#398	C₂²	1	4	yes	—
39	#398	C₂²	1	4	yes	—
40	#397	C₂²	1	4	yes	—
41	#396	C₂²	1	4	yes	—
42	#395	C₂²	1	4	yes	—
43	#393	C₂²	1	4	yes	—
44	#391	C₂²	1	2	yes	—
45	#391	C₂²	1	2	yes	—
46	#391	C₂²	1	2	yes	—
47	#391	C₂²	1	4	yes	—
48	#391	C₂²	1	4	yes	—
49	#391	C₂²	1	2	yes	—
50	#389	C₂²	1	2	yes	—
51	#389	C₂²	1	4	yes	—
52	#388	C₂²	1	4	yes	—
53	#388	C₂²	1	2	yes	—
54	#387	C₂²	1	4	yes	—
55	#387	C₂²	1	4	yes	—
56	#387	C₂²	1	4	yes	—
57	#387	C₂²	1	4	yes	—
58	#387	C₂²	1	4	yes	—
59	#387	C₂²	1	2	yes	—
60	#386	C₂²	1	4	yes	—
61	#386	C₂²	1	2	yes	—
62	#385	C₂²	1	4	yes	—
63	#385	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	2	yes	—
65	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#380	C₂²	1	2	yes	—
67	#380	C₂²	1	4	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
85	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
86	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
87	C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
88	#126	—	2	16	no	—
89	#125	—	2	16	no	—
90	#125	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
93	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
95	C₄×D₄	—	2	4	no	—
96	#117	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#95	C₂³	1	2	yes	—
131	#95	C₂³	1	2	yes	—
132	#95	C₂³	1	2	yes	—
133	#95	C₂³	1	2	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
157	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	8	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	4	4	no	—
215	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂³	—	2	1	no	—
217	C₂³	—	2	1	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	1	no	—
220	C₂³	—	2	1	no	—
221	C₂³	—	2	1	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
226	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
227	Q₈	—	2	16	no	—
228	Q₈	—	4	16	no	—
229	Q₈	—	4	8	no	—
230	D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	16	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	4	1	no	—
277	C₂²	—	4	1	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	1	no	—
280	C₂²	—	4	2	no	—
281	C₂²	#541	1	4	yes	complemented
282	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	8	no	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	4	1	no	—
292	C₄	—	4	1	no	—
293	C₄	—	4	4	no	—
294	C₄	—	4	2	no	—
295	C₄	—	4	4	no	—
296	C₄	—	4	1	no	—
297	C₄	—	4	2	no	—
298	C₄	—	4	4	no	—
299	C₄	#546	1	4	yes	—
300	C₂	—	2	4	no	—
301	C₂	—	8	1	no	—
302	C₂	C₂×#541	1	1	yes	characteristic
303	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#3486	1	2	yes	—
305	C₂	#3509	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#3552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#541	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2851	C₂	semidirect
4. #2716	C₂	semidirect
5. #2713	C₂	semidirect
6. #2642	C₂	semidirect
7. #2621	C₂	semidirect
9. #2473	C₂	semidirect
10. #2446	C₂	semidirect
11. #2429	C₂	semidirect
13. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
14. #2327	C₂	semidirect
87. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
281. C₂²	#541	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#541	2
C₂²×C₄⋊Q₈	2
#2851	2
#2716	2
#2713	2
#2642	2
#2621	2
#2481	2
#2473	2
#2446	2
#2429	2
#2409	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2327	2
#2290	2