Subgroups — #37700

Order 256.

1210 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2851	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2708	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2688	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2621	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2447	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2444	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2419	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2407	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2290	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	#540	—	2	8	no	—
18	#532	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#400	C₂²	1	4	yes	—
35	#400	C₂²	1	4	yes	—
36	#398	C₂²	1	4	yes	—
37	#397	C₂²	1	4	yes	—
38	#397	C₂²	1	4	yes	—
39	#397	C₂²	1	4	yes	—
40	#397	C₂²	1	4	yes	—
41	#394	C₂²	1	4	yes	—
42	#394	C₂²	1	4	yes	—
43	#392	C₂²	1	4	yes	—
44	#391	C₂²	1	2	yes	—
45	#391	C₂²	1	2	yes	—
46	#391	C₂²	1	2	yes	—
47	#390	C₂²	1	2	yes	—
48	#389	C₂²	1	2	yes	—
49	#388	C₂²	1	2	yes	—
50	#387	C₂²	1	4	yes	—
51	#387	C₂²	1	2	yes	—
52	#386	C₂²	1	4	yes	—
53	#386	C₂²	1	4	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#386	C₂²	1	2	yes	—
59	#385	C₂²	1	4	yes	—
60	#385	C₂²	1	4	yes	—
61	#385	C₂²	1	4	yes	—
62	#385	C₂²	1	2	yes	—
63	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#381	C₂²	1	4	yes	—
65	#381	C₂²	1	4	yes	—
66	#380	C₂²	1	2	yes	—
67	#380	C₂²	1	4	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
73	C₂×#41	—	2	8	no	—
74	C₂×#41	—	2	8	no	—
75	C₂×#41	—	4	4	no	—
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
89	#127	D₄	1	8	yes	complemented
90	#125	—	2	4	no	—
91	#124	—	2	8	no	—
92	#123	—	2	16	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
94	#121	—	2	16	no	—
95	#121	—	2	16	no	—
96	#121	—	2	8	no	—
97	C₄×D₄	—	2	16	no	—
98	C₄×D₄	—	2	8	no	—
99	C₄×D₄	—	2	4	no	—
100	C₄×D₄	—	4	4	no	—
101	#117	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	#95	C₂³	1	2	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	2	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#41	—	4	32	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂×D₄	—	4	4	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂³	—	2	1	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	1	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
242	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	Q₈	—	4	8	no	—
245	D₄	—	2	16	no	—
246	D₄	—	4	16	no	—
247	D₄	—	4	16	no	—
248	D₄	—	4	4	no	—
249	D₄	—	8	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	8	no	—
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	8	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	4	4	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	1	no	—
303	C₂²	—	4	1	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	1	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#585	1	2	yes	—
311	C₂²	#585	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	1	no	—
316	C₄	—	4	4	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	4	4	no	—
320	C₄	—	4	1	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	#546	1	4	yes	—
324	C₂	—	4	2	no	—
325	C₂	—	4	8	no	—
326	C₂	—	8	1	no	—
327	C₂	#3455	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#3485	1	2	yes	—
330	C₂	#3512	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#3562	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂×#532	C₂	semidirect
3. #2851	C₂	semidirect
4. #2708	C₂	semidirect
5. #2688	C₂	semidirect
6. #2642	C₂	semidirect
7. #2621	C₂	semidirect
8. #2447	C₂	semidirect
9. #2444	C₂	semidirect
10. #2427	C₂	semidirect
11. #2419	C₂	semidirect
12. #2407	C₂	semidirect
13. #2339	C₂	semidirect
14. #2328	C₂	semidirect
15. #2290	C₂	semidirect
89. #127	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂×#532	2
#2851	2
#2708	2
#2688	2
#2642	2
#2621	2
#2447	2
#2444	2
#2427	2
#2419	2
#2407	2
#2339	2
#2328	2
#2290	2