Subgroups — #37706

Order 256.

1178 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2711	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2707	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2629	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2454	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2443	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2416	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2416	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2290	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#540	—	2	8	no	—
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#125	—	2	8	no	—
19	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#125	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#399	C₂²	1	4	yes	—
37	#398	C₂²	1	4	yes	—
38	#397	C₂²	1	4	yes	—
39	#396	C₂²	1	4	yes	—
40	#396	C₂²	1	4	yes	—
41	#396	C₂²	1	4	yes	—
42	#394	C₂²	1	4	yes	—
43	#394	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#394	C₂²	1	4	yes	—
46	#390	C₂²	1	4	yes	—
47	#390	C₂²	1	2	yes	—
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	4	yes	—
51	#389	C₂²	1	4	yes	—
52	#389	C₂²	1	2	yes	—
53	#389	C₂²	1	2	yes	—
54	#388	C₂²	1	4	yes	—
55	#388	C₂²	1	4	yes	—
56	#388	C₂²	1	2	yes	—
57	#387	C₂²	1	4	yes	—
58	#387	C₂²	1	2	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	2	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#385	C₂²	1	4	yes	—
63	#385	C₂²	1	2	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#380	C₂²	1	2	yes	—
67	#380	C₂²	1	4	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	#127	—	2	4	no	—
84	#125	—	2	8	no	—
85	#125	—	2	16	no	—
86	#125	—	2	4	no	—
87	#125	D₄	1	8	yes	complemented
88	#123	—	2	16	no	—
89	#121	—	2	8	no	—
90	#121	—	2	16	no	—
91	#121	—	2	8	no	—
92	#121	—	4	8	no	—
93	#121	—	4	8	no	—
94	C₄×D₄	—	2	4	no	—
95	C₄×D₄	—	2	8	no	—
96	C₄×D₄	—	4	8	no	—
97	#117	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	#95	C₂³	1	2	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	8	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄²	—	2	4	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	4	4	no	—
225	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂³	—	2	1	no	—
227	C₂³	—	2	1	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	1	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	1	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
243	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	D₄	—	4	4	no	—
245	D₄	—	4	16	no	—
246	D₄	—	4	8	no	—
247	D₄	—	8	8	no	—
248	D₄	—	8	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	16	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	8	8	no	—
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
288	C₂²	—	2	2	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	4	1	no	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	4	1	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	4	1	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	#540	1	4	yes	complemented
305	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#585	1	2	yes	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	8	no	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	4	1	no	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	4	1	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	4	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	4	1	no	—
320	C₄	—	4	2	no	—
321	C₄	#548	1	4	yes	—
322	C₂	—	2	4	no	—
323	C₂	—	8	1	no	—
324	C₂	—	8	4	no	—
325	C₂	C₂×#540	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#3488	1	2	yes	—
328	C₂	#3512	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#3559	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂²×#125	C₂	semidirect
3. #2856	C₂	semidirect
4. #2711	C₂	semidirect
5. #2707	C₂	semidirect
6. #2641	C₂	semidirect
7. #2629	C₂	semidirect
8. #2490	C₂	semidirect
9. #2454	C₂	semidirect
10. #2443	C₂	semidirect
11. #2416	C₂	semidirect
12. #2416	C₂	semidirect
13. #2361	C₂	semidirect
14. #2330	C₂	semidirect
15. #2290	C₂	semidirect
87. #125	D₄	semidirect
304. C₂²	#540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂²×#125	2
#2856	2
#2711	2
#2707	2
#2641	2
#2629	2
#2490	2
#2454	2
#2443	2
#2416	2
#2361	2
#2330	2
#2290	2