Subgroups — #378417

Order 512.

1018 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 449 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20421	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11060	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11053	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10886	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10751	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
14	#2896	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2873	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2296	C₂²	1	2	yes	—
20	#2028	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2028	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2027	C₄	1	2	yes	complemented
23	#2027	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1986	—	2	4	no	—
25	#1986	—	2	4	no	—
26	#1765	—	2	4	no	—
27	#1764	—	2	4	no	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1738	C₂²	1	2	yes	—
31	#1733	C₂²	1	2	yes	—
32	#1733	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#568	—	2	4	no	—
41	#568	—	4	1	no	—
42	#568	Q₈	1	4	yes	complemented
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	4	1	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	#544	—	2	2	no	—
49	#544	—	2	2	no	—
50	#544	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#544	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#543	—	4	1	no	—
53	#533	—	2	4	no	—
54	#533	—	4	1	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	#423	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
62	C₂×#104	—	2	4	no	—
63	C₂×#104	—	2	4	no	—
64	C₂×#104	—	2	2	no	—
65	C₂×#104	—	2	2	no	—
66	#419	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#418	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#417	—	2	2	no	—
69	#417	—	2	2	no	—
70	#416	—	2	4	no	—
71	#410	—	2	2	no	—
72	#410	—	4	1	no	—
73	C₂×#99	—	4	1	no	—
74	#405	—	2	4	no	—
75	#405	—	4	2	no	—
76	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#389	—	2	2	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#386	—	4	1	no	—
88	#385	—	4	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
92	C₂×#95	—	4	1	no	—
93	#344	—	2	4	no	—
94	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#341	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#339	—	2	4	no	—
100	#339	—	2	2	no	—
101	#339	—	2	2	no	—
102	#339	—	4	2	no	—
103	#339	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	#339	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	#339	D₄	1	4	yes	—
106	#339	D₄	1	4	yes	—
107	C₂×#41	—	2	1	no	—
108	C₂×#41	—	2	1	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#131	—	2	16	no	—
123	#131	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
144	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
153	#125	—	2	4	no	—
154	#125	—	2	4	no	—
155	#125	—	4	2	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
200	#104	—	2	8	no	—
201	#104	—	2	8	no	—
202	#103	—	2	4	no	—
203	#103	—	2	4	no	—
204	#102	—	2	4	no	—
205	#102	—	2	4	no	—
206	#99	—	4	4	no	—
207	#97	—	4	4	no	—
208	#97	—	4	4	no	—
209	C₄×C₈	—	4	4	no	—
210	C₄×C₈	—	4	4	no	—
211	#95	—	4	1	no	—
212	#95	—	4	1	no	—
213	#95	—	4	2	no	—
214	#95	—	4	2	no	—
215	#95	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	1	no	—
217	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	1	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	4	no	—
280	M₁₆	—	4	8	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	8	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
308	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	1	no	—
327	C₄²	—	4	1	no	—
328	C₄²	—	4	1	no	—
329	C₄²	—	4	1	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₄²	—	4	2	no	—
332	C₄²	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	4	1	no	—
335	C₂³	—	4	1	no	—
336	C₂³	—	4	1	no	—
337	C₂³	—	4	1	no	—
338	C₂³	—	8	1	no	—
339	C₂³	—	8	1	no	—
340	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	#538	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	#546	1	2	yes	—
344	C₂³	#555	1	2	yes	—
345	Q₈	—	2	4	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	—	16	2	no	—
348	Q₈	—	16	2	no	—
349	D₄	—	2	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	1	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	1	no	—
382	C₂×C₄	—	8	1	no	—
383	C₂×C₄	—	8	2	no	—
384	C₂×C₄	—	8	2	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#539	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
404	C₈	—	2	8	no	—
405	C₈	—	4	4	no	—
406	C₈	—	4	4	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	1	no	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	2	1	no	—
411	C₂²	—	4	1	no	—
412	C₂²	—	4	2	no	—
413	C₂²	—	4	1	no	—
414	C₂²	—	4	2	no	—
415	C₂²	—	8	2	no	—
416	C₂²	—	8	1	no	—
417	C₂²	—	8	1	no	—
418	C₂²	—	16	1	no	—
419	C₂²	#2329	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2372	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#2439	1	2	yes	—
423	C₂²	#2459	1	2	yes	—
424	C₄	—	4	4	no	—
425	C₄	—	4	2	no	—
426	C₄	—	4	4	no	—
427	C₄	—	4	4	no	—
428	C₄	—	4	2	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	—	8	1	no	—
431	C₄	—	8	1	no	—
432	C₄	—	8	1	no	—
433	C₄	—	16	2	no	—
434	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
435	C₄	#2367	1	2	yes	—
436	C₄	#2437	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2463	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#2523	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2607	1	1	yes	characteristic
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	2	1	no	—
442	C₂	—	2	1	no	—
443	C₂	—	2	2	no	—
444	C₂	—	8	2	no	—
445	C₂	#14213	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#22898	1	1	yes	characteristic
447	C₂	#22899	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2358
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21307	C₂	semidirect
6. #10894	C₂	semidirect
7. #10886	C₂	semidirect
8. #10826	C₂	semidirect
20. #2028	C₄	semidirect
21. #2028	C₄	semidirect
22. #2027	C₄	semidirect
23. #2027	C₄	semidirect
42. #568	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23461	2
#21307	2
#20421	2
#11060	2
#11053	2
#10894	2
#10886	2
#10826	2
#10751	2