Subgroups — #37862

Order 256.

1145 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#553	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2721	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2680	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2620	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2565	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	#2443	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
16	#2326	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#2290	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
19	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
20	#554	—	2	8	no	—
21	#553	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#399	C₂²	1	4	yes	—
50	#399	C₂²	1	4	yes	—
51	#398	C₂²	1	4	yes	—
52	#398	C₂²	1	4	yes	—
53	#398	C₂²	1	4	yes	—
54	#397	C₂²	1	4	yes	—
55	#397	C₂²	1	4	yes	—
56	#396	C₂²	1	4	yes	—
57	#395	C₂²	1	4	yes	—
58	#394	C₂²	1	4	yes	—
59	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#389	C₂²	1	4	yes	—
66	#388	C₂²	1	4	yes	—
67	#388	C₂²	1	4	yes	—
68	#388	C₂²	1	2	yes	—
69	#387	C₂²	1	4	yes	—
70	#387	C₂²	1	4	yes	—
71	#387	C₂²	1	2	yes	—
72	#386	C₂²	1	4	yes	—
73	#386	C₂²	1	2	yes	—
74	#386	C₂²	1	4	yes	—
75	#385	C₂²	1	4	yes	—
76	#385	C₂²	1	4	yes	—
77	#385	C₂²	1	4	yes	—
78	#385	C₂²	1	2	yes	—
79	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	#384	C₂²	1	4	yes	—
85	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	#126	—	2	8	no	—
108	#125	—	2	8	no	—
109	#125	—	2	4	no	—
110	#124	—	2	4	no	—
111	#123	—	2	8	no	—
112	#123	—	4	8	no	—
113	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
118	#121	—	2	8	no	—
119	#121	—	2	4	no	—
120	#121	—	2	4	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	8	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	#95	C₂³	1	2	yes	—
181	#95	C₂³	1	2	yes	—
182	#95	C₂³	1	2	yes	—
183	#95	C₂³	1	2	yes	—
184	#95	C₂³	1	2	yes	—
185	#95	C₂³	1	4	yes	—
186	#95	C₂³	1	4	yes	—
187	#95	C₂³	1	4	yes	—
188	#95	C₂³	1	4	yes	—
189	#95	C₂³	1	4	yes	—
190	#95	C₂³	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
279	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
287	C₄²	#41	1	4	yes	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	Q₈	—	8	4	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	#536	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	4	no	—
381	C₄	—	2	4	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	#547	1	4	yes	—
393	C₂	—	2	4	no	—
394	C₂	—	4	2	no	—
395	C₂	—	8	2	no	—
396	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
397	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#3492	1	2	yes	—
399	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#3552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#553	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#554	C₂	semidirect
3. #2850	C₂	semidirect
4. #2721	C₂	semidirect
5. #2680	C₂	semidirect
6. #2660	C₂	semidirect
7. #2620	C₂	semidirect
8. #2565	C₂	semidirect
9. #2542	C₂	semidirect
10. #2504	C₂	semidirect
11. #2502	C₂	semidirect
12. #2501	C₂	semidirect
13. #2499	C₂	semidirect
14. #2449	C₂	semidirect
15. #2443	C₂	semidirect
16. #2326	C₂	semidirect
17. #2317	C₂	semidirect
18. #2290	C₂	semidirect
19. C₂×#384	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
C₂×#553	2
#2850	2
#2721	2
#2680	2
#2660	2
#2620	2
#2565	2
#2542	2
#2504	2
#2502	2
#2501	2
#2499	2
#2449	2
#2443	2
#2326	2
#2317	2
#2290	2
C₂×#384	2