Subgroups — #378811

Order 512.

1216 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21099	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20980	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11080	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10772	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
12	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	#2896	C₂²	1	2	yes	—
18	#2879	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2040	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2039	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1938	—	2	4	no	—
25	#1937	—	2	4	no	—
26	#1897	—	2	4	no	—
27	#1896	—	2	4	no	—
28	#1759	—	2	8	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
30	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1738	C₂²	1	2	yes	—
33	#1733	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	#537	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#536	—	2	2	no	—
44	#535	—	2	2	no	—
45	#534	—	4	1	no	—
46	#532	—	4	1	no	—
47	#525	—	2	4	no	—
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	2	4	no	—
50	C₄×#41	—	2	4	no	—
51	C₄×#41	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	#424	—	2	4	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	—	4	1	no	—
65	#423	—	4	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
67	#421	—	2	4	no	—
68	#421	—	4	2	no	—
69	C₂×#104	—	2	4	no	—
70	C₂×#104	—	2	4	no	—
71	C₂×#104	—	2	4	no	—
72	C₂×#104	—	2	4	no	—
73	C₂×#104	—	2	4	no	—
74	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	C₂×#104	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×#104	D₄	1	4	yes	—
78	#419	—	2	2	no	—
79	#418	—	2	2	no	—
80	#417	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	#416	—	2	4	no	—
82	#408	—	2	4	no	—
83	#408	—	4	2	no	—
84	#407	—	2	4	no	—
85	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	#384	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	#382	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
91	#380	—	4	1	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
93	#376	—	4	1	no	—
94	#376	D₄	1	4	yes	complemented
95	C₂×#95	—	4	1	no	—
96	#344	—	2	4	no	—
97	#343	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
98	#342	—	4	1	no	—
99	#341	—	2	4	no	—
100	#339	—	2	4	no	—
101	#339	—	2	2	no	—
102	#339	—	2	2	no	—
103	#339	—	2	2	no	—
104	#339	—	2	2	no	—
105	#339	—	2	4	no	—
106	#339	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
149	#127	—	4	1	no	—
150	#124	—	4	2	no	—
151	#123	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
153	#121	—	2	8	no	—
154	#121	—	4	4	no	—
155	#120	—	4	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	2	8	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	8	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	4	4	no	—
171	#117	—	4	4	no	—
172	#117	#41	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
202	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
204	#104	—	2	8	no	—
205	#104	—	2	8	no	—
206	#104	—	2	8	no	—
207	#104	—	2	8	no	—
208	#104	—	4	8	no	—
209	#103	—	2	8	no	—
210	#102	—	2	8	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
212	#97	—	4	4	no	—
213	C₄×C₈	—	4	4	no	—
214	#95	—	4	4	no	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	C₂⁴	—	2	2	no	—
217	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	2	4	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	2	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	#41	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
275	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
285	M₁₆	—	2	4	no	—
286	M₁₆	—	2	4	no	—
287	M₁₆	—	2	4	no	—
288	M₁₆	—	2	4	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	2	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	2	no	—
293	M₁₆	—	4	2	no	—
294	M₁₆	—	4	2	no	—
295	M₁₆	—	4	2	no	—
296	M₁₆	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	2	1	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	—	2	4	no	—
328	C₄²	—	4	8	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	1	no	—
331	C₄²	—	4	1	no	—
332	C₄²	—	4	1	no	—
333	C₄²	—	4	1	no	—
334	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
335	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
336	C₄²	#121	1	4	yes	—
337	C₄²	#121	1	4	yes	—
338	C₂³	—	2	4	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#539	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	#546	1	2	yes	—
347	C₂³	#551	1	2	yes	—
348	Q₈	—	2	4	no	—
349	Q₈	—	2	4	no	—
350	Q₈	—	4	2	no	—
351	Q₈	—	4	2	no	—
352	D₄	—	2	4	no	—
353	D₄	—	2	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	2	no	—
359	D₄	—	4	2	no	—
360	D₄	—	16	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	4	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	—	8	16	no	—
384	C₂×C₄	—	8	4	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#538	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
405	C₈	—	4	4	no	—
406	C₈	—	4	4	no	—
407	C₈	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	2	4	no	—
410	C₂²	—	4	1	no	—
411	C₂²	—	4	1	no	—
412	C₂²	—	4	2	no	—
413	C₂²	—	4	8	no	—
414	C₂²	—	4	4	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	#2325	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#2372	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2534	1	2	yes	—
421	C₂²	#2553	1	2	yes	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	4	2	no	—
424	C₄	—	4	2	no	—
425	C₄	—	4	4	no	—
426	C₄	—	4	4	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	—	8	2	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
431	C₄	#2359	1	2	yes	—
432	C₄	#2537	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#2555	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#2572	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#2609	1	1	yes	characteristic
436	C₂	—	2	2	no	—
437	C₂	—	2	1	no	—
438	C₂	—	2	2	no	—
439	C₂	—	2	1	no	—
440	C₂	—	8	4	no	—
441	C₂	#14224	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#22898	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2358
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21099	C₂	semidirect
4. C₂×#1759	C₂	semidirect
5. #11212	C₂	semidirect
6. #11080	C₂	semidirect
7. #10840	C₂	semidirect
8. #10826	C₂	semidirect
9. #10772	C₂	semidirect
22. #2040	C₄	semidirect
23. #2039	C₄	semidirect
74. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
80. #417	C₂×C₄	semidirect
89. #384	C₂×C₄	semidirect
90. #382	C₂×C₄	semidirect
94. #376	D₄	semidirect
97. #343	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23498	2
#21099	2
#20980	2
C₂×#1759	2
#11212	2
#11080	2
#10840	2
#10826	2
#10772	2