Subgroups — #378815

Order 512.

1206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1932	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1906	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11244	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11081	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10758	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#575	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2050	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1932	—	2	8	no	—
24	#1906	—	2	8	no	—
25	#1759	—	2	8	no	—
26	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	#575	—	2	4	no	—
37	#575	—	4	1	no	—
38	#575	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#137	—	2	2	no	—
40	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
41	C₂×#135	—	4	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₄×#41	—	2	4	no	—
47	C₄×#41	—	2	4	no	—
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	#430	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	4	1	no	—
61	#423	—	4	1	no	—
62	#423	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
64	#421	—	2	4	no	—
65	#421	—	2	4	no	—
66	C₂×#104	—	2	4	no	—
67	C₂×#104	—	2	4	no	—
68	C₂×#104	—	2	2	no	—
69	C₂×#104	—	2	2	no	—
70	C₂×#104	—	2	2	no	—
71	C₂×#104	—	2	2	no	—
72	C₂×#104	—	4	2	no	—
73	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
74	C₂×#104	D₄	1	8	yes	—
75	#413	—	2	4	no	—
76	#413	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	C₂×#101	—	2	2	no	—
78	C₂×#100	—	2	2	no	—
79	#410	—	2	4	no	—
80	#410	—	2	4	no	—
81	C₂×#99	—	4	2	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
83	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	#384	—	2	1	no	—
87	#382	—	2	1	no	—
88	#380	—	4	1	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
90	#376	—	4	1	no	—
91	#376	D₄	1	4	yes	—
92	C₂×#95	—	4	1	no	—
93	#344	—	2	4	no	—
94	#344	—	2	4	no	—
95	#339	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#338	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
100	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
101	H(3,ℤ/4)	—	4	1	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#137	—	2	8	no	—
123	#137	—	4	4	no	—
124	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
125	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
126	#135	—	4	4	no	—
127	#135	—	4	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	4	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	8	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	#117	#41	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	#108	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
199	#104	—	2	8	no	—
200	#104	—	2	8	no	—
201	#104	—	2	8	no	—
202	#104	—	2	8	no	—
203	#104	—	4	8	no	—
204	#101	—	2	8	no	—
205	#100	—	2	8	no	—
206	#99	—	4	8	no	—
207	#97	—	4	4	no	—
208	C₄×C₈	—	4	4	no	—
209	#95	—	4	4	no	—
210	#95	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	2	2	no	—
212	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
278	Q₁₆	—	4	4	no	—
279	SD₁₆	—	4	8	no	—
280	D₈	—	4	4	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	2	4	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	2	4	no	—
285	M₁₆	—	2	4	no	—
286	M₁₆	—	2	4	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	2	no	—
290	M₁₆	—	4	2	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	1	no	—
302	C₂×C₈	—	4	1	no	—
303	C₂×C₈	—	4	1	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	2	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	2	1	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	4	8	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₄²	#121	1	4	yes	—
332	C₄²	#121	1	4	yes	—
333	C₂³	—	2	4	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#538	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	#546	1	2	yes	—
342	C₂³	#551	1	2	yes	—
343	Q₈	—	2	4	no	—
344	Q₈	—	2	4	no	—
345	Q₈	—	4	2	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	D₄	—	2	4	no	—
348	D₄	—	2	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	16	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#539	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
397	C₈	—	4	2	no	—
398	C₈	—	4	2	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	4	no	—
403	C₂²	—	4	1	no	—
404	C₂²	—	4	1	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	4	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	#2325	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2359	1	2	yes	—
412	C₂²	#2534	1	2	yes	—
413	C₂²	#2555	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2572	1	1	yes	characteristic
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	4	4	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	—	16	2	no	—
422	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
423	C₄	#2358	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#2372	1	1	yes	characteristic
425	C₄	#2537	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#2553	1	2	yes	—
427	C₄	#2609	1	1	yes	characteristic
428	C₂	—	2	2	no	—
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	2	no	—
432	C₂	—	8	4	no	—
433	C₂	#14224	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#29233	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2572
prime radical	C₂×#575	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1932	C₂	semidirect
4. C₂×#1759	C₂	semidirect
5. #11244	C₂	semidirect
6. #11081	C₂	semidirect
7. #10840	C₂	semidirect
8. #10813	C₂	semidirect
9. #10758	C₂	semidirect
22. #2050	C₄	semidirect
62. #423	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
76. #413	C₂×C₄	semidirect
99. #338	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2050	2
C₂×#1932	2
C₂×#1906	2
C₂×#1759	2
#11244	2
#11081	2
#10840	2
#10813	2
#10758	2