Subgroups — #378893

Order 512.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23627	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1929	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11359	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11326	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11053	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10910	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10809	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#10791	C₂	1	2	yes	maximal
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2074	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2073	C₄	1	2	yes	complemented
25	#2072	C₄	1	2	yes	complemented
26	#2071	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1929	—	2	8	no	—
28	#1771	—	2	2	no	—
29	#1771	—	2	2	no	—
30	#1753	—	2	2	no	—
31	#1752	—	2	2	no	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	#1735	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂×#131	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	—	4	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	4	2	no	—
64	#423	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×#104	—	2	4	no	—
67	C₂×#104	—	2	4	no	—
68	C₂×#104	—	4	2	no	—
69	#416	—	2	4	no	—
70	#416	—	2	4	no	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#408	—	2	2	no	—
74	#408	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	#405	—	2	4	no	—
77	#405	—	2	4	no	—
78	#405	—	4	2	no	—
79	C₂×#97	—	2	4	no	—
80	C₂×#97	—	2	1	no	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#386	—	2	2	no	—
91	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×#95	—	2	2	no	—
97	#341	—	4	2	no	—
98	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#339	—	2	4	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	—	4	2	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	—	2	4	no	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	—	2	1	no	—
112	C₂×#41	—	2	1	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#131	—	4	8	no	—
127	#131	—	4	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	#108	—	4	8	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
199	#104	—	4	8	no	—
200	#103	—	2	8	no	—
201	#102	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
203	#97	—	2	4	no	—
204	#97	—	2	4	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	#97	—	4	4	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	—	4	4	no	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	#95	—	4	4	no	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	4	8	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	1	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
305	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	—	4	2	no	—
324	C₄²	—	4	1	no	—
325	C₄²	—	4	1	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	4	1	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	1	no	—
337	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#529	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#529	1	2	yes	—
340	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	#542	1	2	yes	—
342	Q₈	—	2	4	no	—
343	Q₈	—	4	2	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	1	no	—
356	C₂×C₄	—	4	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	1	no	—
365	C₂×C₄	—	4	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	2	2	no	—
397	C₈	—	2	4	no	—
398	C₈	—	4	4	no	—
399	C₈	—	4	2	no	—
400	C₈	—	4	2	no	—
401	C₈	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	2	no	—
410	C₂²	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	8	1	no	—
412	C₂²	—	8	1	no	—
413	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	C₄×#123	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#2515	1	2	yes	—
417	C₂²	#2521	1	2	yes	—
418	C₂²	#2956	1	2	yes	—
419	C₂²	#2957	1	2	yes	—
420	C₄	—	4	2	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	4	2	no	—
423	C₄	—	8	4	no	—
424	C₄	—	8	4	no	—
425	C₄	—	8	1	no	—
426	C₄	—	8	1	no	—
427	C₄	#2359	1	2	yes	—
428	C₄	#2373	1	2	yes	—
429	C₄	#2482	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#2486	1	1	yes	characteristic
431	C₄	#2535	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#2599	1	1	yes	characteristic
433	C₂	—	2	2	no	—
434	C₂	—	2	2	no	—
435	C₂	—	8	2	no	—
436	C₂	#14225	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#21519	1	2	yes	—
438	C₂	#21594	1	2	yes	—
439	C₂	#22236	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#22237	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20438	C₂	semidirect
5. #11359	C₂	semidirect
6. #11326	C₂	semidirect
8. #10910	C₂	semidirect
9. #10809	C₂	semidirect
10. #10798	C₂	semidirect
23. #2074	C₄	semidirect
24. #2073	C₄	semidirect
25. #2072	C₄	semidirect
26. #2071	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23627	2
C₂×#1929	2
#20438	2
#20384	2
#11359	2
#11326	2
#11053	2
#10910	2
#10809	2
#10798	2
#10791	2