Subgroups — #378989

Order 512.

1004 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 452 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11026	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10961	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
18	#2896	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2047	C₄	1	2	yes	complemented
27	#2046	C₄	1	4	yes	complemented
28	#2045	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1974	—	2	2	no	—
30	#1974	—	2	2	no	—
31	#1938	—	2	4	no	—
32	#1937	—	2	4	no	—
33	#1768	—	2	2	no	—
34	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
35	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
37	#1738	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1733	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
42	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#135	—	2	2	no	—
46	C₂×#135	—	2	2	no	—
47	C₂×#135	—	4	2	no	—
48	C₂×#135	—	4	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	4	2	no	—
64	#424	—	2	2	no	—
65	#424	—	2	2	no	—
66	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#424	D₄	1	2	yes	—
69	#424	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	#421	—	2	4	no	—
73	#421	—	4	2	no	—
74	C₂×#104	—	2	4	no	—
75	C₂×#104	—	2	2	no	—
76	C₂×#104	—	2	2	no	—
77	C₂×#104	—	2	4	no	—
78	C₂×#104	—	2	4	no	—
79	#419	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#418	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#417	—	2	4	no	—
82	#416	—	2	4	no	—
83	#413	—	4	2	no	—
84	#413	—	4	2	no	—
85	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#410	—	2	4	no	—
88	#410	—	4	2	no	—
89	C₂×#99	—	2	4	no	—
90	#408	—	2	2	no	—
91	#408	—	2	2	no	—
92	#408	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
94	#405	—	2	4	no	—
95	#405	—	4	2	no	—
96	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
97	C₂×#97	—	2	2	no	—
98	C₂×#97	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
106	#376	—	2	1	no	—
107	C₄³	—	2	1	no	—
108	#344	—	4	2	no	—
109	#344	—	4	2	no	—
110	#341	—	2	4	no	—
111	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
113	#340	—	2	2	no	—
114	#339	—	2	4	no	—
115	#339	—	2	4	no	—
116	#336	—	2	2	no	—
117	#336	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	—	2	2	no	—
126	C₂×#41	—	2	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	2	2	no	—
129	C₂×#41	—	2	2	no	—
130	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#135	—	4	4	no	—
137	#135	—	4	4	no	—
138	#135	—	4	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×D₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₈	—	4	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
181	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
182	#117	—	2	1	no	—
183	#117	—	2	1	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	#117	#41	1	4	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
207	#108	—	4	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
212	#104	—	4	8	no	—
213	#104	—	4	4	no	—
214	#104	—	4	4	no	—
215	#103	—	2	8	no	—
216	#102	—	2	8	no	—
217	#101	—	4	4	no	—
218	#100	—	4	4	no	—
219	#99	—	4	8	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
222	#97	—	4	4	no	—
223	#97	—	4	2	no	—
224	C₄×C₈	—	4	2	no	—
225	C₄×C₈	—	4	2	no	—
226	C₄×C₈	—	4	4	no	—
227	C₄×C₈	—	4	2	no	—
228	#95	—	2	4	no	—
229	C₂⁴	—	2	2	no	—
230	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	#41	—	4	2	no	—
234	#41	—	4	2	no	—
235	#41	—	4	2	no	—
236	#41	—	4	2	no	—
237	#41	—	4	2	no	—
238	#41	—	4	2	no	—
239	#41	—	4	2	no	—
240	#41	—	4	2	no	—
241	#41	—	4	2	no	—
242	#41	—	4	2	no	—
243	#41	—	4	2	no	—
244	#41	—	4	2	no	—
245	#41	—	4	2	no	—
246	#41	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	Q₁₆	—	4	4	no	—
290	SD₁₆	—	4	8	no	—
291	D₈	—	4	4	no	—
292	M₁₆	—	2	4	no	—
293	M₁₆	—	2	4	no	—
294	M₁₆	—	2	4	no	—
295	M₁₆	—	2	4	no	—
296	M₁₆	—	4	2	no	—
297	M₁₆	—	4	2	no	—
298	M₁₆	—	4	2	no	—
299	M₁₆	—	4	2	no	—
300	M₁₆	—	4	2	no	—
301	M₁₆	—	4	2	no	—
302	M₁₆	—	4	2	no	—
303	M₁₆	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	4	no	—
314	C₂×C₈	—	2	4	no	—
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	2	2	no	—
317	C₂×C₈	—	4	1	no	—
318	C₂×C₈	—	4	1	no	—
319	C₂×C₈	—	4	1	no	—
320	C₂×C₈	—	4	1	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	—	4	2	no	—
323	C₂×C₈	—	4	2	no	—
324	C₂×C₈	—	4	2	no	—
325	C₂×C₈	—	4	2	no	—
326	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
329	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
330	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
335	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	2	2	no	—
341	C₄²	—	2	2	no	—
342	C₄²	—	2	1	no	—
343	C₄²	—	2	1	no	—
344	C₄²	—	2	4	no	—
345	C₄²	—	2	4	no	—
346	C₄²	—	4	8	no	—
347	C₄²	—	4	1	no	—
348	C₄²	—	4	1	no	—
349	C₄²	—	4	2	no	—
350	C₄²	#124	1	2	yes	—
351	C₄²	#124	1	2	yes	—
352	C₂³	—	4	2	no	—
353	C₂³	—	4	2	no	—
354	C₂³	—	4	2	no	—
355	C₂³	—	4	2	no	—
356	C₂³	—	8	4	no	—
357	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
358	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
359	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
360	C₂³	#551	1	2	yes	—
361	C₂³	#553	1	2	yes	—
362	Q₈	—	4	2	no	—
363	Q₈	—	4	2	no	—
364	Q₈	—	4	2	no	—
365	Q₈	—	4	2	no	—
366	D₄	—	4	2	no	—
367	D₄	—	4	2	no	—
368	D₄	—	4	2	no	—
369	D₄	—	4	2	no	—
370	D₄	—	8	2	no	—
371	D₄	—	8	2	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	2	2	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	8	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	2	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	—	8	2	no	—
391	C₂×C₄	—	8	2	no	—
392	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
410	C₈	—	2	2	no	—
411	C₈	—	2	2	no	—
412	C₈	—	2	2	no	—
413	C₈	—	2	2	no	—
414	C₈	—	4	2	no	—
415	C₈	—	4	4	no	—
416	C₈	—	4	2	no	—
417	C₈	—	8	2	no	—
418	C₂²	—	2	2	no	—
419	C₂²	—	2	2	no	—
420	C₂²	—	2	2	no	—
421	C₂²	—	4	2	no	—
422	C₂²	—	4	2	no	—
423	C₂²	—	8	4	no	—
424	C₂²	—	8	2	no	—
425	C₂²	—	16	2	no	—
426	C₂²	—	16	2	no	—
427	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#2374	1	2	yes	—
429	C₂²	#2554	1	2	yes	—
430	C₂²	#2591	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#2610	1	1	yes	characteristic
432	C₄	—	2	4	no	—
433	C₄	—	4	2	no	—
434	C₄	—	4	4	no	—
435	C₄	—	8	2	no	—
436	C₄	—	8	4	no	—
437	C₄	—	8	2	no	—
438	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2321	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#2363	1	2	yes	—
441	C₄	#2543	1	1	yes	characteristic
442	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
443	C₄	#2593	1	2	yes	—
444	C₂	—	2	1	no	—
445	C₂	—	2	1	no	—
446	C₂	—	2	2	no	—
447	C₂	—	2	2	no	—
448	C₂	—	16	2	no	—
449	C₂	#14227	1	1	yes	characteristic
450	C₂	#21558	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21100	C₂	semidirect
4. C₄×#424	C₂	semidirect
5. #11272	C₂	semidirect
6. #11240	C₂	semidirect
8. #10961	C₂	semidirect
9. #10946	C₂	semidirect
10. #10945	C₂	semidirect
11. #10706	C₂	semidirect
26. #2047	C₄	semidirect
27. #2046	C₄	semidirect
28. #2045	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23520	2
C₂×#1974	2
#21100	2
C₄×#424	2
#11272	2
#11240	2
#11026	2
#10961	2
#10946	2
#10945	2
#10706	2