Subgroups — #378990

Order 512.

990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 447 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11026	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10961	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#10707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
18	#2896	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2047	C₄	1	2	yes	complemented
27	#2046	C₄	1	4	yes	complemented
28	#2045	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1975	—	2	2	no	—
30	#1975	—	2	2	no	—
31	#1938	—	2	4	no	—
32	#1937	—	2	4	no	—
33	#1768	—	2	2	no	—
34	#1767	—	2	2	no	—
35	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
37	#1738	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1733	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
42	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#135	—	2	2	no	—
46	C₂×#135	—	2	2	no	—
47	C₂×#135	—	4	2	no	—
48	C₂×#135	—	4	2	no	—
49	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	4	2	no	—
64	#424	—	2	2	no	—
65	#424	—	2	2	no	—
66	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#424	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	#421	—	2	4	no	—
72	#421	—	4	2	no	—
73	C₂×#104	—	2	4	no	—
74	C₂×#104	—	2	2	no	—
75	C₂×#104	—	2	2	no	—
76	C₂×#104	—	2	4	no	—
77	C₂×#104	—	2	4	no	—
78	#419	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#418	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#417	—	2	4	no	—
81	#416	—	2	4	no	—
82	#413	—	4	2	no	—
83	#413	—	4	2	no	—
84	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#410	—	2	4	no	—
87	#410	—	4	2	no	—
88	C₂×#99	—	2	4	no	—
89	#408	—	2	2	no	—
90	#408	—	2	2	no	—
91	#408	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	#405	—	2	4	no	—
94	#405	—	4	2	no	—
95	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
96	C₂×#97	—	2	2	no	—
97	C₂×#97	—	2	1	no	—
98	C₂×#97	—	4	2	no	—
99	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	#376	—	2	1	no	—
106	C₄³	—	2	1	no	—
107	#344	—	4	2	no	—
108	#344	—	4	2	no	—
109	#341	—	2	4	no	—
110	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	#340	—	2	2	no	—
113	#339	—	2	4	no	—
114	#339	—	2	4	no	—
115	#336	—	2	2	no	—
116	#336	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	—	2	2	no	—
126	C₂×#41	—	2	2	no	—
127	C₂×#41	—	2	2	no	—
128	C₂×#41	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	#135	—	4	4	no	—
136	#135	—	4	4	no	—
137	#135	—	4	8	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	—	2	2	no	—
144	C₂×D₈	—	4	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
180	#117	—	2	1	no	—
181	#117	—	2	1	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	#117	#41	1	4	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
205	#108	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
209	#104	—	4	8	no	—
210	#104	—	4	4	no	—
211	#104	—	4	4	no	—
212	#103	—	2	8	no	—
213	#102	—	2	8	no	—
214	#101	—	4	4	no	—
215	#100	—	4	4	no	—
216	#99	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
219	#97	—	4	2	no	—
220	#97	—	4	2	no	—
221	#97	—	4	4	no	—
222	#97	—	4	2	no	—
223	C₄×C₈	—	4	4	no	—
224	C₄×C₈	—	4	2	no	—
225	#95	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	2	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	#41	—	4	2	no	—
234	#41	—	4	2	no	—
235	#41	—	4	2	no	—
236	#41	—	4	2	no	—
237	#41	—	4	2	no	—
238	#41	—	4	2	no	—
239	#41	—	4	2	no	—
240	#41	—	4	2	no	—
241	#41	—	4	2	no	—
242	#41	—	4	2	no	—
243	#41	—	4	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	2	no	—
260	C₂×D₄	—	4	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	Q₁₆	—	4	4	no	—
287	SD₁₆	—	4	8	no	—
288	D₈	—	4	4	no	—
289	M₁₆	—	2	4	no	—
290	M₁₆	—	2	4	no	—
291	M₁₆	—	2	4	no	—
292	M₁₆	—	2	4	no	—
293	M₁₆	—	4	2	no	—
294	M₁₆	—	4	2	no	—
295	M₁₆	—	4	2	no	—
296	M₁₆	—	4	2	no	—
297	M₁₆	—	4	2	no	—
298	M₁₆	—	4	2	no	—
299	M₁₆	—	4	2	no	—
300	M₁₆	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	4	1	no	—
315	C₂×C₈	—	4	1	no	—
316	C₂×C₈	—	4	1	no	—
317	C₂×C₈	—	4	1	no	—
318	C₂×C₈	—	4	2	no	—
319	C₂×C₈	—	4	2	no	—
320	C₂×C₈	—	4	2	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	—	4	2	no	—
323	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
326	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
330	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
331	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	2	2	no	—
337	C₄²	—	2	2	no	—
338	C₄²	—	2	1	no	—
339	C₄²	—	2	1	no	—
340	C₄²	—	2	4	no	—
341	C₄²	—	2	4	no	—
342	C₄²	—	4	1	no	—
343	C₄²	—	4	1	no	—
344	C₄²	—	4	2	no	—
345	C₄²	—	8	4	no	—
346	C₄²	#124	1	2	yes	—
347	C₄²	#124	1	2	yes	—
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	2	no	—
351	C₂³	—	4	2	no	—
352	C₂³	—	8	4	no	—
353	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
354	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
355	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
356	C₂³	#551	1	2	yes	—
357	C₂³	#553	1	2	yes	—
358	Q₈	—	4	2	no	—
359	Q₈	—	4	2	no	—
360	Q₈	—	4	2	no	—
361	Q₈	—	4	2	no	—
362	D₄	—	4	2	no	—
363	D₄	—	4	2	no	—
364	D₄	—	4	2	no	—
365	D₄	—	4	2	no	—
366	D₄	—	8	2	no	—
367	D₄	—	8	2	no	—
368	D₄	—	8	2	no	—
369	D₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	—	8	2	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
406	C₈	—	2	2	no	—
407	C₈	—	2	2	no	—
408	C₈	—	2	4	no	—
409	C₈	—	4	2	no	—
410	C₈	—	4	4	no	—
411	C₈	—	4	2	no	—
412	C₈	—	8	2	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	2	no	—
415	C₂²	—	2	2	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	4	2	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	2	no	—
420	C₂²	—	16	2	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#2374	1	2	yes	—
424	C₂²	#2554	1	2	yes	—
425	C₂²	#2591	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#2610	1	1	yes	characteristic
427	C₄	—	4	2	no	—
428	C₄	—	4	2	no	—
429	C₄	—	4	4	no	—
430	C₄	—	8	2	no	—
431	C₄	—	8	4	no	—
432	C₄	—	8	2	no	—
433	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#2321	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#2363	1	2	yes	—
436	C₄	#2543	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#2593	1	2	yes	—
439	C₂	—	2	1	no	—
440	C₂	—	2	1	no	—
441	C₂	—	2	2	no	—
442	C₂	—	2	2	no	—
443	C₂	—	16	2	no	—
444	C₂	#14227	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#21559	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21100	C₂	semidirect
4. #20427	C₂	semidirect
5. #11272	C₂	semidirect
6. #11240	C₂	semidirect
8. #10961	C₂	semidirect
9. #10946	C₂	semidirect
10. #10945	C₂	semidirect
11. #10707	C₂	semidirect
26. #2047	C₄	semidirect
27. #2046	C₄	semidirect
28. #2045	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23520	2
C₂×#1975	2
#21100	2
#20427	2
#11272	2
#11240	2
#11026	2
#10961	2
#10946	2
#10945	2
#10707	2