Subgroups — #379577

Order 512.

1016 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 440 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11269	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11053	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10929	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10809	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10791	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2026	C₄	1	2	yes	complemented
23	#2025	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2024	C₄	1	2	yes	complemented
25	#2023	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1984	—	2	2	no	—
27	#1984	—	2	2	no	—
28	#1753	—	2	2	no	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	#1735	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂×#131	—	4	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#533	—	4	2	no	—
57	#533	—	4	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#423	—	4	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#104	—	2	4	no	—
69	C₂×#104	—	2	4	no	—
70	C₂×#104	—	4	2	no	—
71	#416	—	4	2	no	—
72	#416	—	4	2	no	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#408	—	2	2	no	—
76	#408	Q₈	1	4	yes	complemented
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	#405	—	2	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#386	—	2	2	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×#95	—	2	2	no	—
94	#341	—	2	4	no	—
95	#341	—	4	2	no	—
96	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#339	—	4	2	no	—
100	#339	—	4	2	no	—
101	#336	—	2	4	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×#41	—	2	1	no	—
110	C₂×#41	—	2	1	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#131	—	4	8	no	—
126	#131	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	#125	—	4	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
201	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
202	#104	—	4	8	no	—
203	#103	—	4	4	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	—	4	2	no	—
209	C₄×C₈	—	4	8	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	#95	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	1	no	—
215	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	1	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	4	8	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	1	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₈	—	4	1	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	4	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	4	1	no	—
326	C₄²	—	4	1	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	4	1	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	1	no	—
338	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#529	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#529	1	2	yes	—
341	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#538	1	2	yes	—
343	Q₈	—	2	4	no	—
344	Q₈	—	4	2	no	—
345	Q₈	—	8	8	no	—
346	D₄	—	2	4	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	8	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	1	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
394	C₈	—	2	2	no	—
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	2	4	no	—
397	C₈	—	4	2	no	—
398	C₈	—	4	2	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	4	4	no	—
407	C₂²	—	4	2	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	—	8	1	no	—
410	C₂²	—	8	1	no	—
411	C₂²	C₄×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#2321	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2572	1	2	yes	—
415	C₂²	#2574	1	2	yes	—
416	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
417	C₂²	#2955	1	2	yes	—
418	C₄	—	2	4	no	—
419	C₄	—	4	8	no	—
420	C₄	—	4	2	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	—	8	1	no	—
424	C₄	—	8	1	no	—
425	C₄	#2368	1	2	yes	—
426	C₄	#2372	1	2	yes	—
427	C₄	#2561	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2564	1	1	yes	characteristic
430	C₄	#2610	1	1	yes	characteristic
431	C₂	—	2	2	no	—
432	C₂	—	2	2	no	—
433	C₂	—	8	2	no	—
434	C₂	#14243	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#21627	1	2	yes	—
436	C₂	#21658	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#21663	1	1	yes	characteristic
438	C₂	#22060	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21300	C₂	semidirect
4. #11386	C₂	semidirect
5. #11269	C₂	semidirect
8. #10818	C₂	semidirect
9. #10809	C₂	semidirect
11. C₈×#95	C₂	semidirect
22. #2026	C₄	semidirect
23. #2025	C₄	semidirect
24. #2024	C₄	semidirect
25. #2023	C₄	semidirect
76. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23451	2
#21300	2
#20383	2
#11386	2
#11269	2
#11053	2
#10929	2
#10818	2
#10809	2
#10791	2
C₈×#95	2