Subgroups — #380372

Order 512.

933 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20852	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20360	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11272	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10747	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2879	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1858	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1855	—	2	4	no	—
24	C₂×#344	—	2	4	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	#1742	C₂²	1	2	yes	—
30	#1738	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1738	C₂²	1	2	yes	—
32	#1738	C₂²	1	2	yes	—
33	#1738	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#568	—	2	2	no	—
40	#568	—	4	2	no	—
41	#568	—	4	2	no	—
42	#568	—	4	2	no	—
43	#568	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	4	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#520	—	4	2	no	—
59	#519	—	2	1	no	—
60	#518	—	2	1	no	—
61	#518	Q₈	1	4	yes	—
62	C₄×#41	—	4	2	no	—
63	C₂×#117	—	2	2	no	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	#430	—	4	2	no	—
66	#430	—	4	2	no	—
67	#430	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
68	C₂×#108	—	2	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	C₂×#108	—	4	2	no	—
71	C₂×#108	—	4	2	no	—
72	#413	—	2	2	no	—
73	#413	—	2	2	no	—
74	#413	—	2	2	no	—
75	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×#101	—	2	1	no	—
77	C₂×#101	—	2	1	no	—
78	C₂×#100	—	2	1	no	—
79	C₂×#100	—	2	1	no	—
80	#408	—	2	2	no	—
81	#408	—	2	2	no	—
82	#408	—	2	2	no	—
83	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	#407	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
86	#344	—	2	4	no	—
87	#344	—	2	4	no	—
88	#344	—	4	2	no	—
89	#344	—	4	2	no	—
90	#343	—	4	2	no	—
91	#341	—	2	2	no	—
92	#341	—	2	2	no	—
93	#341	—	4	2	no	—
94	#341	—	4	2	no	—
95	#341	—	4	2	no	—
96	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	#338	—	4	2	no	—
98	#336	—	4	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
105	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
106	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
107	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	#131	—	4	8	no	—
113	#131	—	4	8	no	—
114	#131	—	4	8	no	—
115	#131	—	4	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₄×D₄	—	4	8	no	—
177	C₄×D₄	—	4	4	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	4	2	no	—
184	#117	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
191	#108	—	4	8	no	—
192	#108	—	4	4	no	—
193	#108	—	4	4	no	—
194	#101	—	2	4	no	—
195	#101	—	4	2	no	—
196	#100	—	2	4	no	—
197	#100	—	4	2	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	#126	1	2	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
219	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	#126	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	4	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	2	2	no	—
248	M₁₆	—	2	2	no	—
249	M₁₆	—	2	2	no	—
250	M₁₆	—	4	8	no	—
251	M₁₆	—	4	8	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	1	no	—
261	M₁₆	—	4	1	no	—
262	M₁₆	—	4	1	no	—
263	M₁₆	—	4	1	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	2	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	8	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	1	no	—
282	C₂×C₈	—	4	1	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	1	no	—
290	C₂×C₈	—	4	1	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	8	1	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	#387	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	#543	1	2	yes	—
314	C₂³	#544	1	2	yes	—
315	Q₈	—	2	4	no	—
316	Q₈	—	2	4	no	—
317	D₄	—	2	8	no	—
318	D₄	—	2	8	no	—
319	D₄	—	2	4	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	16	4	no	—
330	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	8	1	no	—
356	C₈	—	8	1	no	—
357	C₈	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2329	1	2	yes	—
369	C₂²	#2626	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2627	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2646	1	2	yes	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	#2318	1	2	yes	—
375	C₄	#2321	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2322	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2622	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2623	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2643	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	2	2	no	—
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	4	4	no	—
386	C₂	#14265	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2622
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#14265
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11363	C₂	semidirect
5. #11306	C₂	semidirect
6. #11272	C₂	semidirect
7. #11254	C₂	semidirect
22. #1858	C₄	semidirect
67. #430	C₂×C₄	semidirect
96. #341	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1858	2
#20852	2
#20360	2
#11363	2
#11306	2
#11272	2
#11254	2
#10767	2
#10756	2
#10747	2
#10744	2