Subgroups — #380636

Order 512.

2022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#14714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#11023	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#492	—	2	4	no	—
13	C₂×#492	—	2	4	no	—
14	C₂×#492	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#390	—	2	2	no	—
21	C₂×#390	—	2	2	no	—
22	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1957	—	2	4	no	—
27	#1956	—	2	4	no	—
28	#1834	—	2	4	no	—
29	#1744	—	2	4	no	—
30	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
33	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	4	8	no	—
42	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#492	—	2	32	no	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	—	4	8	no	—
73	C₂×#102	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	4	8	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
81	#391	—	4	8	no	—
82	#390	—	4	8	no	—
83	#390	—	4	8	no	—
84	#390	—	4	8	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#384	—	2	2	no	—
87	#384	—	2	2	no	—
88	#384	—	2	2	no	—
89	C₂×#95	—	2	8	no	—
90	C₄³	—	2	2	no	—
91	C₄³	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	8	no	—
93	#336	—	2	8	no	—
94	C₂⁵	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
147	#127	—	2	8	no	—
148	#127	—	2	8	no	—
149	#127	—	4	4	no	—
150	#127	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	complemented
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
190	#103	—	4	16	no	—
191	#102	—	4	16	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
194	#95	—	4	16	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	2	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	16	no	—
233	C₂×D₄	—	8	8	no	—
234	C₂×D₄	—	8	8	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
277	SD₁₆	—	4	64	no	—
278	C₂×C₈	—	2	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
299	C₄²	—	2	16	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	8	no	—
303	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
304	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
305	C₄²	#121	1	4	yes	—
306	C₄²	#124	1	4	yes	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	2	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	8	no	—
321	C₂³	—	8	8	no	—
322	C₂³	—	8	4	no	—
323	C₂³	—	8	4	no	—
324	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	#535	1	2	yes	—
328	C₂³	#535	1	2	yes	—
329	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
331	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
332	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
333	Q₈	—	4	8	no	—
334	Q₈	—	4	8	no	—
335	Q₈	—	8	4	no	—
336	Q₈	—	8	4	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	D₄	—	8	16	no	—
342	D₄	—	8	16	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	8	no	—
362	C₂×C₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
366	C₂×C₄	#440	1	8	yes	—
367	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
368	C₂×C₄	#468	1	8	yes	—
369	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
385	C₈	—	2	8	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	16	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	—	16	2	no	—
394	C₂²	—	16	2	no	—
395	C₂²	—	16	8	no	—
396	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2328	1	2	yes	—
398	C₂²	#2619	1	2	yes	—
399	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
402	C₂²	C₂×#440	1	2	yes	—
403	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
404	C₂²	C₂×#468	1	2	yes	—
405	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3206	1	4	yes	—
410	C₂²	#3207	1	4	yes	—
411	C₂²	#3208	1	4	yes	—
412	C₂²	#3210	1	4	yes	—
413	C₄	—	4	8	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	16	2	no	—
416	C₄	—	16	2	no	—
417	C₄	#1968	1	8	yes	—
418	C₄	#1973	1	8	yes	—
419	C₄	#2309	1	2	yes	—
420	C₄	#2328	1	2	yes	—
421	C₄	#2619	1	2	yes	—
422	C₄	#2641	1	2	yes	—
423	C₂	—	16	4	no	—
424	C₂	#14272	1	1	yes	characteristic
425	C₂	C₂×#1968	1	1	yes	characteristic
426	C₂	C₂×#1973	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#22268	1	4	yes	—
428	C₂	#29807	1	4	yes	—
429	C₂	#30259	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#30260	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#30261	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#30263	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1956	C₂	semidirect
4. C₂×#1834	C₂	semidirect
5. C₂×#1744	C₂	semidirect
6. #14714	C₂	semidirect
8. #11023	C₂	semidirect
14. C₂×#492	C₄	semidirect
183. C₂×C₄²	SD₁₆	semidirect
193. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#492	2
C₂×#1957	2
C₂×#1956	2
C₂×#1834	2
C₂×#1744	2
#14714	2
#14713	2
#11023	2