Subgroups — #380700

Order 512.

1806 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#14714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#14713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#11121	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#486	—	2	4	no	—
12	C₂×#486	—	2	4	no	—
13	C₂×#486	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#391	—	2	2	no	—
20	C₂×#390	—	2	2	no	—
21	C₂×#390	—	2	2	no	—
22	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1990	—	2	4	no	—
27	#1957	—	2	4	no	—
28	#1844	—	2	4	no	—
29	#1744	—	2	4	no	—
30	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#127	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#486	—	2	32	no	—
66	C₂×#106	—	2	8	no	—
67	C₂×#106	—	4	8	no	—
68	C₂×#102	—	2	8	no	—
69	C₂×#102	—	2	8	no	—
70	C₂×#102	—	2	8	no	—
71	C₂×#102	—	4	8	no	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	16	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
79	#391	—	4	8	no	—
80	#390	—	4	8	no	—
81	#390	—	4	8	no	—
82	#390	—	4	8	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#384	—	2	2	no	—
87	C₂×#95	—	2	8	no	—
88	C₄³	—	2	2	no	—
89	C₄³	—	2	2	no	—
90	#340	—	2	8	no	—
91	#336	—	2	8	no	—
92	C₂⁵	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
137	#127	—	2	8	no	—
138	#127	—	2	8	no	—
139	#127	—	4	4	no	—
140	#127	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	SD₁₆	1	8	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	#106	—	4	16	no	—
184	#102	—	2	32	no	—
185	#102	—	4	16	no	—
186	C₄×C₈	—	2	8	no	—
187	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
188	#95	—	4	16	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	4	4	no	—
194	C₂⁴	—	4	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	16	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	8	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	8	no	—
222	C₂×D₄	—	8	4	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
288	C₄²	—	2	16	no	—
289	C₄²	—	4	4	no	—
290	C₄²	—	4	4	no	—
291	C₄²	—	4	8	no	—
292	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
293	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
294	C₄²	#121	1	4	yes	—
295	C₄²	#124	1	4	yes	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	8	no	—
308	C₂³	—	8	8	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	—	8	8	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#535	1	2	yes	—
317	C₂³	#536	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
321	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
322	Q₈	—	8	16	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	8	no	—
325	D₄	—	8	4	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	16	no	—
328	D₄	—	8	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	#442	1	8	yes	—
353	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	#469	1	8	yes	—
355	C₂×C₄	#492	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
371	C₈	—	2	8	no	—
372	C₈	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	8	4	no	—
374	C₂²	—	8	16	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	16	2	no	—
378	C₂²	—	16	2	no	—
379	C₂²	—	16	2	no	—
380	C₂²	—	16	2	no	—
381	C₂²	—	16	8	no	—
382	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2326	1	2	yes	—
384	C₂²	#2620	1	2	yes	—
385	C₂²	#2657	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2658	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#469	1	2	yes	—
391	C₂²	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3207	1	4	yes	—
396	C₂²	#3208	1	4	yes	—
397	C₂²	#3227	1	4	yes	—
398	C₂²	#3228	1	4	yes	—
399	C₄	—	4	8	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	—	16	2	no	—
402	C₄	—	16	2	no	—
403	C₄	#1968	1	8	yes	—
404	C₄	#1972	1	8	yes	—
405	C₄	#2311	1	2	yes	—
406	C₄	#2326	1	2	yes	—
407	C₄	#2620	1	2	yes	—
408	C₄	#2640	1	2	yes	—
409	C₂	—	16	4	no	—
410	C₂	#14273	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#1968	1	1	yes	characteristic
412	C₂	C₂×#1972	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#22219	1	4	yes	—
414	C₂	#29843	1	4	yes	—
415	C₂	#30259	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#30260	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#30277	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#30278	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1990	C₂	semidirect
4. C₂×#1844	C₂	semidirect
5. C₂×#1744	C₂	semidirect
6. #14714	C₂	semidirect
8. #11121	C₂	semidirect
13. C₂×#486	C₄	semidirect
187. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#486	2
C₂×#1990	2
C₂×#1957	2
C₂×#1844	2
C₂×#1744	2
#14714	2
#14713	2
#11121	2