Subgroups — #380784

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20835	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11258	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11221	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10719	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
17	#2280	C₂²	1	2	yes	—
18	#1851	—	2	8	no	—
19	#1811	—	2	4	no	—
20	#1809	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
22	#1735	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
25	#1729	C₂²	1	4	yes	—
26	#1728	—	2	4	no	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#108	—	2	2	no	—
54	C₂×#108	—	2	2	no	—
55	C₂×#108	—	4	2	no	—
56	C₂×#108	—	4	2	no	—
57	#427	—	4	2	no	—
58	#427	—	4	2	no	—
59	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	#424	—	4	4	no	—
62	#424	—	4	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
64	#407	—	2	4	no	—
65	#407	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
67	#381	—	2	2	no	—
68	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#379	—	2	2	no	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	#341	—	2	4	no	—
72	#340	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#339	—	4	4	no	—
74	#339	—	4	4	no	—
75	#336	—	2	8	no	—
76	#336	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	#108	—	4	4	no	—
149	#108	—	4	4	no	—
150	#107	—	4	4	no	—
151	#106	—	4	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
154	#95	—	2	8	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
160	C₂⁴	#125	1	2	yes	—
161	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
203	M₁₆	—	4	16	no	—
204	M₁₆	—	4	16	no	—
205	M₁₆	—	4	2	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	4	2	no	—
208	M₁₆	—	4	2	no	—
209	M₁₆	—	4	4	no	—
210	M₁₆	—	4	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
236	C₄²	—	2	8	no	—
237	C₄²	—	4	8	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	4	2	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	4	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	8	no	—
248	C₂³	—	4	4	no	—
249	C₂³	—	4	4	no	—
250	C₂³	—	4	8	no	—
251	C₂³	—	4	8	no	—
252	C₂³	#389	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	#538	1	2	yes	—
257	C₂³	#539	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂×C₄	—	4	32	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	4	4	no	—
297	C₈	—	8	2	no	—
298	C₈	—	8	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	8	no	—
308	C₂²	—	4	8	no	—
309	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#2325	1	2	yes	—
311	C₂²	#2626	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#2627	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#2646	1	2	yes	—
314	C₂²	#2956	1	4	yes	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	4	8	no	—
317	C₄	—	8	8	no	—
318	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#2329	1	2	yes	—
321	C₄	#2617	1	1	yes	characteristic
322	C₄	#2618	1	1	yes	characteristic
323	C₄	#2659	1	2	yes	—
324	C₂	—	2	1	no	—
325	C₂	—	2	1	no	—
326	C₂	—	2	2	no	—
327	C₂	—	4	4	no	—
328	C₂	#14275	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#21165	1	2	yes	—
330	C₂	#22207	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11329	C₂	semidirect
6. #11258	C₂	semidirect
7. #11221	C₂	semidirect
20. #1809	C₄	semidirect
59. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×#106	C₂×C₄	semidirect
72. #340	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20835	2
C₂×#1811	2
#20660	2
C₂×#1728	2
#11329	2
#11258	2
#11221	2
#10719	2