Subgroups — #381220

Order 512.

1642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#14685	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11010	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10970	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10926	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#103	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#2857	—	2	4	no	—
15	#2857	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#389	—	2	1	no	—
18	C₂×#389	—	2	1	no	—
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#381	—	2	1	no	—
21	C₂×#380	—	2	1	no	—
22	C₂×#380	—	2	1	no	—
23	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	#1434	—	2	1	no	—
30	#1434	—	2	1	no	—
31	C₂²⋊#95	—	2	1	no	—
32	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#103	—	2	16	no	—
60	C₂×#103	—	4	8	no	—
61	C₂×#103	—	4	8	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
66	#391	—	2	4	no	—
67	#391	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#389	—	2	8	no	—
69	#389	—	2	8	no	—
70	#384	—	2	2	no	—
71	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#381	—	4	4	no	—
73	#380	—	2	8	no	—
74	#380	—	2	8	no	—
75	#380	—	4	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	#340	—	4	8	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	SD₁₆	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	Q₁₆	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	#103	—	4	32	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
159	C₄×C₈	—	4	8	no	—
160	#95	—	2	8	no	—
161	#95	—	2	8	no	—
162	#95	—	4	4	no	—
163	#95	—	4	4	no	—
164	#95	—	4	4	no	—
165	#95	—	4	4	no	—
166	#95	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	#103	1	16	yes	complemented
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	16	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	C₂×#103	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#532	1	2	yes	—
286	C₂³	#534	1	2	yes	—
287	C₂³	#535	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
292	C₂³	#575	1	2	yes	—
293	Q₈	—	4	16	no	—
294	Q₈	—	8	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	—	4	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	#540	1	8	yes	—
344	C₈	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	4	8	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2661	1	4	yes	—
358	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2896	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#3167	1	2	yes	—
363	C₂²	#3170	1	2	yes	—
364	C₂²	#3172	1	4	yes	—
365	C₂²	#3187	1	2	yes	—
366	C₂²	#3189	1	2	yes	—
367	C₂²	#3190	1	4	yes	—
368	C₂²	#3206	1	2	yes	—
369	C₂²	#3209	1	2	yes	—
370	C₂²	#3212	1	4	yes	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	16	4	no	—
379	C₄	#2333	1	4	yes	—
380	C₄	#2635	1	4	yes	—
381	C₂	—	4	4	no	—
382	C₂	#14290	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#21400	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#21404	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#21759	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#21762	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#21804	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#21807	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#30317	1	4	yes	—
390	C₂	#30318	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11357	C₂	semidirect
5. #11010	C₂	semidirect
7. #10926	C₂	semidirect
15. #2857	C₄	semidirect
228. C₂²×C₄	#103	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2857	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#14685	2
#11357	2
#11010	2
#10970	2
#10926	2