Subgroups — #381971

Order 512.

878 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1946	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20884	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11289	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11193	C₂	1	2	yes	maximal
9	#11108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10914	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#10819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
18	#2896	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2079	C₄	1	4	yes	complemented
24	#2078	C₄	1	4	yes	complemented
25	#1946	—	2	2	no	—
26	#1946	—	2	2	no	—
27	#1866	—	2	8	no	—
28	#1753	—	2	2	no	—
29	#1752	—	2	2	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
32	#1742	C₂²	1	2	yes	—
33	#1740	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1733	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1729	C₂²	1	2	yes	—
41	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	C₂×#131	—	4	2	no	—
45	C₂×#131	—	4	2	no	—
46	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#430	—	4	2	no	—
60	#430	—	4	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	C₂×#108	—	4	2	no	—
64	#427	—	2	2	no	—
65	#427	—	2	2	no	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#424	—	2	4	no	—
69	#424	—	2	2	no	—
70	#424	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
72	#421	—	4	2	no	—
73	#421	—	4	2	no	—
74	C₂×#104	—	2	4	no	—
75	#419	—	2	2	no	—
76	#418	—	2	2	no	—
77	#417	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#416	—	2	4	no	—
79	#408	—	2	2	no	—
80	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	#405	—	4	2	no	—
84	C₂×#97	—	2	1	no	—
85	C₂×#97	—	4	2	no	—
86	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
89	#391	—	2	1	no	—
90	#390	—	2	1	no	—
91	#386	—	2	2	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	#344	—	4	2	no	—
94	#344	—	4	2	no	—
95	#343	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	#342	—	2	4	no	—
97	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#340	—	2	2	no	—
100	#339	—	2	4	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	—	4	2	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	1	no	—
107	C₂×#41	—	2	1	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#131	—	4	8	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	#108	—	4	4	no	—
189	#108	—	4	8	no	—
190	#107	—	2	4	no	—
191	#106	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
194	#104	—	4	8	no	—
195	#103	—	2	8	no	—
196	#102	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
199	#97	—	4	2	no	—
200	#97	—	4	2	no	—
201	#97	—	4	2	no	—
202	C₄×C₈	—	4	2	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	C₂⁴	—	2	1	no	—
205	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	4	8	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	1	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	1	no	—
306	C₄²	—	4	1	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	—	4	1	no	—
315	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#539	1	2	yes	—
319	C₂³	#542	1	2	yes	—
320	Q₈	—	2	4	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	2	no	—
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	4	2	no	—
367	C₈	—	4	2	no	—
368	C₈	—	8	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#2334	1	2	yes	—
380	C₂²	#2633	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2638	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2663	1	2	yes	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	—	16	2	no	—
388	C₄	#2322	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2322	1	2	yes	—
390	C₄	#2326	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2617	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2621	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2652	1	2	yes	—
394	C₂	—	2	1	no	—
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	8	2	no	—
399	C₂	#14313	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#21559	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1946	C₂	semidirect
5. #11364	C₂	semidirect
6. #11332	C₂	semidirect
7. #11289	C₂	semidirect
10. #10914	C₂	semidirect
11. #10819	C₂	semidirect
23. #2079	C₄	semidirect
24. #2078	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23646	2
C₂×#1946	2
#20884	2
#20384	2
#11364	2
#11332	2
#11289	2
#11193	2
#11108	2
#10914	2
#10819	2