Subgroups — #382317

Order 512.

774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21020	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11359	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11329	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11326	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11221	C₂	1	2	yes	maximal
8	#11209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10860	C₂	1	2	yes	maximal
10	#10819	C₂	1	2	yes	maximal
11	#10696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2085	C₄	1	4	yes	complemented
22	#2084	C₄	1	2	yes	complemented
23	#2083	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1939	—	2	4	no	—
25	#1916	—	2	4	no	—
26	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
27	#1735	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#108	—	2	4	no	—
52	C₂×#108	—	4	2	no	—
53	C₂×#108	—	4	2	no	—
54	#427	—	4	2	no	—
55	#427	—	4	2	no	—
56	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#424	—	4	2	no	—
59	#424	—	4	2	no	—
60	#424	—	4	2	no	—
61	#423	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	4	2	no	—
66	C₂×#97	—	4	2	no	—
67	C₂×#97	Q₈	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
70	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#385	—	2	2	no	—
73	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#380	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	#341	—	2	4	no	—
80	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#339	—	4	2	no	—
83	#339	—	4	2	no	—
84	#339	—	4	2	no	—
85	#339	—	4	2	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
133	#117	—	2	1	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	1	no	—
139	#117	—	2	1	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
167	#108	—	4	8	no	—
168	#107	—	4	4	no	—
169	#106	—	4	4	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
173	#97	—	4	8	no	—
174	C₄×C₈	—	4	4	no	—
175	#95	—	2	4	no	—
176	#95	—	2	2	no	—
177	#95	—	2	2	no	—
178	#95	—	4	4	no	—
179	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
203	M₁₆	—	4	2	no	—
204	M₁₆	—	4	2	no	—
205	M₁₆	—	4	2	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	4	2	no	—
208	M₁₆	—	4	2	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	1	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	1	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	1	no	—
263	C₄²	—	4	1	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#533	1	2	yes	—
272	C₂³	#539	1	2	yes	—
273	C₂³	#540	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#542	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	4	2	no	—
318	C₈	—	8	2	no	—
319	C₈	—	8	1	no	—
320	C₈	—	8	1	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2322	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2324	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2666	1	2	yes	—
330	C₂²	#2667	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
332	C₂²	#2955	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	8	4	no	—
336	C₄	—	8	2	no	—
337	C₄	—	8	4	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	#2329	1	2	yes	—
340	C₄	#2330	1	2	yes	—
341	C₄	#2659	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2660	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2661	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#2664	1	1	yes	characteristic
345	C₂	—	2	2	no	—
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	#14328	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#21734	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#21737	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#22096	1	2	yes	—
351	C₂	#22166	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
21. #2085	C₄	semidirect
22. #2084	C₄	semidirect
23. #2083	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23656	2
#21143	2
#21020	2
#11359	2
#11329	2
#11326	2
#11221	2
#11209	2
#10860	2
#10819	2
#10696	2