Group #382526 — subgroups

Subgroups — #382526

Order 512.

1866 conjugacy classes of subgroups; only the 322 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1866 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 322 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20627	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1784	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11045	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#10728	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#101	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
12	#2310	—	2	8	no	—
13	C₂×#391	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#381	C₄	1	4	yes	—
16	#1798	—	2	8	no	—
17	#1784	—	2	8	no	—
18	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
19	#1728	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
21	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
22	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
23	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
24	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂³×Q₈	D₄	1	4	yes	—
26	C₂³×Q₈	Q₈	1	4	yes	—
27	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
31	C₂×#117	—	2	4	no	—
32	C₂×#117	—	4	4	no	—
33	C₂×#117	—	4	4	no	—
34	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
41	#423	—	4	8	no	—
42	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
43	C₂×#101	—	2	16	no	—
44	C₂×#101	—	4	8	no	—
45	C₂×#101	—	4	8	no	—
46	#407	—	2	8	no	—
47	#407	—	2	8	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
49	#391	—	2	16	no	—
50	#391	—	2	8	no	—
51	#391	—	2	8	no	—
52	#381	—	2	16	no	—
53	C₂×#95	C₂×C₄	1	16	yes	—
54	#343	—	4	8	no	—
55	#336	—	2	8	no	—
56	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
59	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
60	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
61	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
64	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
65	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
66	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
67	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
68	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
69	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
70	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
71	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
72	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
74	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
81	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
96	#117	—	4	16	no	—
97	#117	—	4	16	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
112	#101	—	4	32	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
114	#95	—	2	32	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	4	4	no	—
118	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
121	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
127	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
131	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
132	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
135	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
157	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
170	M₁₆	—	4	16	no	—
171	M₁₆	—	4	16	no	—
172	C₂×C₈	—	4	8	no	—
173	C₂×C₈	—	4	8	no	—
174	C₂×C₈	—	4	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₄²	—	2	8	no	—
180	C₄²	—	2	8	no	—
181	C₄²	—	4	8	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	8	no	—
188	C₂³	—	4	4	no	—
189	C₂³	—	4	4	no	—
190	C₂³	—	4	8	no	—
191	C₂³	—	4	8	no	—
192	C₂³	#380	1	4	yes	—
193	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
196	C₂³	#518	1	2	yes	—
197	C₂³	#518	1	2	yes	—
198	Q₈	—	4	32	no	—
199	Q₈	—	4	16	no	—
200	Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄	—	4	32	no	—
212	C₂×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂×C₄	—	8	8	no	—
218	C₂×C₄	—	8	8	no	—
219	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
223	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
224	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
225	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
226	C₂×C₄	#543	1	4	yes	—
227	C₈	—	8	8	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	2	2	no	—
231	C₂²	—	2	4	no	—
232	C₂²	—	2	4	no	—
233	C₂²	—	2	8	no	—
234	C₂²	—	4	8	no	—
235	C₂²	—	4	8	no	—
236	C₂²	—	4	4	no	—
237	C₂²	—	4	4	no	—
238	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#2312	1	2	yes	—
242	C₂²	#2315	1	2	yes	—
243	C₂²	#2889	1	4	yes	—
244	C₄	—	2	4	no	—
245	C₄	—	4	8	no	—
246	C₄	—	4	8	no	—
247	C₄	—	8	4	no	—
248	C₄	#2617	1	4	yes	—
249	C₄	#2626	1	4	yes	—
250	C₂	—	2	2	no	—
251	C₂	—	2	2	no	—
252	C₂	—	4	4	no	—
253	C₂	#14338	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#20639	1	2	yes	—
255	C₂	#21756	1	2	yes	—
256	C₂	#21802	1	2	yes	—

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

C₂×#2310

C₂

yes

maximal, characteristic

#20627

C₂

yes

maximal

C₂×#1784

C₂

yes

maximal

#11045

C₂

yes

maximal, complemented

#10728

C₂

yes

maximal

C₂⁴×Q₈

C₂²

yes

characteristic

C₂²×#117

C₂²

yes

characteristic

C₂²×#117

C₂²

yes

characteristic

C₂×#423

C₂²

yes

—

C₂²×#101

C₂²

yes

—

C₂×#407

C₂²

yes

—

#2310

—

C₂×#391

C₄

yes

—

C₂×#391

C₂²

yes

—

C₂×#381

C₄

yes

—

#1798

—

#1784

—

C₂×#343

C₂²

yes

—

#1728

C₂²

yes

—

C₂³×Q₈

—

C₂³×Q₈

—

C₂³×Q₈

—

C₂³×Q₈

—

C₂³×Q₈

C₂×C₄

yes

—

C₂³×Q₈

D₄

yes

—

C₂³×Q₈

Q₈

yes

—

C₂³×Q₈

C₂³

yes

—

C₂⁴×C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂⁴×C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂²×M₁₆

C₂³

yes

—

—

—

—

D₄

yes

—

C₂²×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂²×C₄⋊C₄

C₂³

yes

—

C₂²×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂²×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂²×C₄²

C₂×C₄

yes

—

C₂²×C₄²

C₂³

yes

—

#423

—

C₂×C₄⋊C₈

—

—

—

—

—

—

C₂×C₂²⋊C₈

—

—

—

—

—

C₂×#95

C₂×C₄

yes

—

#343

—

#336

—

C₂⁵

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

—

C₂²×Q₈

C₄⋊C₄

yes

—

C₂²×Q₈

C₂×D₄

yes

—

C₂²×Q₈

C₂×Q₈

yes

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

—

C₂³×C₄

C₄⋊C₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂²×C₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂³×C₄

C₂²×C₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂²×C₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂×D₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂×D₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂×Q₈

yes

—

C₂³×C₄

#41

yes

—

C₂³×C₄

C₂⁴

yes

characteristic

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂×M₁₆

—

C₂²×C₈

—

#117

—

#117

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

100

C₂×C₄⋊C₄

—

101

C₂×C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

102

C₂×C₂²⋊C₄

—

103

C₂×C₂²⋊C₄

—

104

C₂×C₂²⋊C₄

—

105

C₂×C₂²⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

106

C₂×C₄²

—

107

C₂×C₄²

—

108

C₂×C₄²

—

109

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

—

110

C₂×C₄²

C₂×D₄

yes

—

111

C₄⋊C₈

—

112

#101

—

113

C₂²⋊C₈

—

114

#95

—

115

C₂⁴

—

116

C₂⁴

—

117

C₂⁴

—

118

C₂⁴

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

119

C₂⁴

C₂×C₄⋊C₄

yes

—

120

C₂⁴

#117

yes

—

121

C₂⁴

C₂³×C₄

yes

characteristic

122

C₂×Q₈

—

123

C₂×Q₈

—

124

C₂×Q₈

—

125

C₂×Q₈

—

126

C₂×Q₈

—

127

C₂×Q₈

—

128

C₂×Q₈

—

129

C₂×Q₈

—

130

C₂×Q₈

—

131

C₂×Q₈

—

132

C₂×Q₈

—

133

C₂×Q₈

—

134

C₂×Q₈

—

135

C₂×Q₈

—

136

C₂²×C₄

—

137

C₂²×C₄

—

138

C₂²×C₄

—

139

C₂²×C₄

—

140

C₂²×C₄

—

141

C₂²×C₄

—

142

C₂²×C₄

—

143

C₂²×C₄

—

144

C₂²×C₄

—

145

C₂²×C₄

—

146

C₂²×C₄

—

147

C₂²×C₄

—

148

C₂²×C₄

—

149

C₂²×C₄

—

150

C₂²×C₄

—

151

C₂²×C₄

—

152

C₂²×C₄

—

153

C₂²×C₄

—

154

C₂²×C₄

—

155

C₂²×C₄

—

156

C₂²×C₄

—

157

C₂²×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

158

C₂²×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

159

C₂²×C₄

C₂×C₄⋊C₄

yes

—

160

C₂²×C₄

C₂×C₄⋊C₄

yes

—

161

C₂²×C₄

#117

yes

—

162

C₂²×C₄

#121

yes

—

163

C₂²×C₄

C₂²⋊Q₈

yes

—

164

C₂²×C₄

C₂²×D₄

yes

characteristic

165

C₂²×C₄

C₂²×D₄

yes

—

166

C₂²×C₄

C₂²×Q₈

yes

characteristic

167

C₂²×C₄

C₂×#41

yes

—

168

C₂²×C₄

H(5,𝔽₂)

yes

—

169

C₂²×C₄

H(5,𝔽₂)

yes

—

170

M₁₆

—

171

M₁₆

—

172

C₂×C₈

—

173

C₂×C₈

—

174

C₂×C₈

—

175

C₄⋊C₄

—

176

C₄⋊C₄

—

177

C₂²⋊C₄

—

178

C₂²⋊C₄

—

179

C₄²

—

180

C₄²

—

181

C₄²

—

182

C₂³

—

183

C₂³

—

184

C₂³

—

185

C₂³

—

186

C₂³

—

187

C₂³

—

188

C₂³

—

189

C₂³

—

190

C₂³

—

191

C₂³

—

192

C₂³

#380

yes

—

193

C₂³

C₂²×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

194

C₂³

C₂²×C₄⋊C₄

yes

characteristic

195

C₂³

C₂×#117

yes

characteristic

196

C₂³

#518

yes

—

197

C₂³

#518

yes

—

198

Q₈

—

199

Q₈

—

200

Q₈

—

201

C₂×C₄

—

202

C₂×C₄

—

203

C₂×C₄

—

204

C₂×C₄

—

205

C₂×C₄

—

206

C₂×C₄

—

207

C₂×C₄

—

208

C₂×C₄

—

209

C₂×C₄

—

210

C₂×C₄

—

211

C₂×C₄

—

212

C₂×C₄

—

213

C₂×C₄

—

214

C₂×C₄

—

215

C₂×C₄

—

216

C₂×C₄

—

217

C₂×C₄

—

218

C₂×C₄

—

219

C₂×C₄

#380

yes

—

220

C₂×C₄

C₂×#121

yes

—

221

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊Q₈

yes

—

222

C₂×C₄

#534

yes

—

223

C₂×C₄

#534

yes

—

224

C₂×C₄

#535

yes

—

225

C₂×C₄

#538

yes

—

226

C₂×C₄

#543

yes

—

227

C₈

—

228

C₂²

—

229

C₂²

—

230

C₂²

—

231

C₂²

—

232

C₂²

—

233

C₂²

—

234

C₂²

—

235

C₂²

—

236

C₂²

—

237

C₂²

—

238

C₂²

C₂×#380

yes

characteristic

239

C₂²

#2308

yes

characteristic

240

C₂²

#2309

yes

characteristic

241

C₂²

#2312

yes

—

242

C₂²

#2315

yes

—

243

C₂²

#2889

yes

—

244

C₄

—

245

C₄

—

246

C₄

—

247

C₄

—

248

C₄

#2617

yes

—

249

C₄

#2626

yes

—

250

C₂

—

251

C₂

—

252

C₂

—

253

C₂

#14338

yes

characteristic

254

C₂

#20639

yes

—

255

C₂

#21756

yes

—

256

C₂

#21802

yes

—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂³

C₂²×C₂²⋊C₄

commutator

C₂⁴

C₂³×C₄

Frattini, cosocle

C₂³×C₄

C₂⁴

prime radical

C₂⁵

C₂²×C₄

LCS

G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

UCS

C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G

LECS

G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
4. #11045	C₂	semidirect

H ≅ G/N

type

4. #11045

C₂

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2310	2
#20627	2
C₂×#1784	2
#11045	2
#10728	2

subgroup

index

Subgroups — #382526

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups