Subgroups — #382670

Order 512.

1082 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20654	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11241	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11104	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2922	—	2	1	no	—
10	#2922	—	2	1	no	—
11	#2922	—	2	2	no	—
12	#2922	C₄	1	4	yes	complemented
13	#2922	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#433	—	2	2	no	—
15	C₂×#431	—	2	2	no	—
16	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	2	yes	—
24	#1846	—	2	2	no	—
25	#1845	—	2	1	no	—
26	#1844	—	2	1	no	—
27	#1837	—	2	2	no	—
28	#1837	—	2	2	no	—
29	#1806	—	2	8	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
32	#1733	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₄×#41	—	2	1	no	—
38	C₄×#41	—	2	1	no	—
39	C₄×#41	—	2	2	no	—
40	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
46	C₂×#117	—	2	1	no	—
47	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#433	—	2	4	no	—
52	#433	—	2	4	no	—
53	#433	—	2	8	no	—
54	#431	—	2	4	no	—
55	#431	—	2	4	no	—
56	#431	—	2	8	no	—
57	#427	—	4	8	no	—
58	C₂×#107	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	#424	—	2	2	no	—
61	#424	—	2	2	no	—
62	#424	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	#423	—	2	4	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	#421	—	4	8	no	—
69	C₂×#104	—	2	8	no	—
70	#408	—	2	2	no	—
71	#408	—	2	2	no	—
72	#408	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
76	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#97	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	#384	—	2	2	no	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	#344	—	4	8	no	—
92	#341	—	2	8	no	—
93	#339	—	2	8	no	—
94	C₂×#41	—	2	1	no	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	#117	—	2	1	no	—
136	#117	—	2	1	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	2	8	no	—
142	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
166	#107	—	4	8	no	—
167	#106	—	4	8	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
172	#104	—	4	16	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
175	#97	—	2	2	no	—
176	#97	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	#95	—	4	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	1	no	—
187	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	2	8	no	—
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	#41	—	4	2	no	—
192	#41	—	4	2	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	1	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
228	M₁₆	—	2	8	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	M₁₆	—	4	2	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	4	4	no	—
233	M₁₆	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	8	no	—
244	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	4	4	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₄²	#121	1	2	yes	—
270	C₄²	#121	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#540	1	2	yes	—
281	C₂³	#541	1	2	yes	—
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	4	2	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	2	no	—
287	D₄	—	4	2	no	—
288	D₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#542	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#544	1	4	yes	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	2	4	no	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₈	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2314	1	2	yes	—
335	C₂²	#2619	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2621	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2629	1	2	yes	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	16	4	no	—
344	C₄	#1814	1	4	yes	—
345	C₄	#2311	1	2	yes	—
346	C₄	#2317	1	2	yes	—
347	C₄	#2620	1	2	yes	—
348	C₄	#2628	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	1	no	—
350	C₂	—	2	2	no	—
351	C₂	—	2	2	no	—
352	C₂	—	2	1	no	—
353	C₂	—	8	2	no	—
354	C₂	#14340	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×#1814	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20797	C₂	semidirect
3. C₂×#1837	C₂	semidirect
5. #11241	C₂	semidirect
7. #10855	C₂	semidirect
12. #2922	C₄	semidirect
13. #2922	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2922	2
#20797	2
C₂×#1837	2
#20654	2
#11241	2
#11104	2
#10855	2