Subgroups — #385147

Order 512.

1222 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 452 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20876	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20651	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11145	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11061	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10882	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2317	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1958	—	2	4	no	—
25	#1888	C₄	1	8	yes	complemented
26	#1885	—	2	4	no	—
27	#1864	—	2	4	no	—
28	#1862	—	2	4	no	—
29	#1805	—	2	4	no	—
30	#1803	—	2	4	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	#1736	C₂²	1	2	yes	—
34	#1735	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#124	—	4	1	no	—
44	C₂×#124	—	4	1	no	—
45	C₂×#124	—	4	1	no	—
46	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×#124	Q₈	1	4	yes	—
49	#519	—	2	4	no	—
50	#519	—	4	1	no	—
51	#519	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
52	#518	—	2	2	no	—
53	#518	—	4	1	no	—
54	#518	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	—	4	1	no	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#428	—	4	2	no	—
66	#428	—	4	2	no	—
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	#424	—	2	4	no	—
70	#424	—	4	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
72	#419	—	2	4	no	—
73	#419	—	4	2	no	—
74	#418	—	2	4	no	—
75	#418	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×#103	—	2	4	no	—
77	C₂×#103	—	2	4	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#103	—	2	2	no	—
80	C₂×#103	—	4	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	4	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×#102	—	2	4	no	—
84	C₂×#102	—	4	2	no	—
85	C₂×#101	—	4	1	no	—
86	C₂×#101	—	4	1	no	—
87	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	C₂×#100	—	2	2	no	—
89	C₂×#100	—	4	1	no	—
90	C₂×#100	—	4	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
94	#389	—	2	4	no	—
95	#385	—	4	2	no	—
96	#384	—	2	2	no	—
97	#382	—	2	2	no	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	#382	—	4	1	no	—
100	C₂×#95	—	4	1	no	—
101	#343	—	4	2	no	—
102	#341	—	4	2	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#340	D₄	1	4	yes	—
105	#340	D₄	1	4	yes	—
106	#339	—	2	4	no	—
107	#339	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
108	#336	—	2	4	no	—
109	C₂⁵	—	2	1	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#124	—	4	4	no	—
157	#124	—	4	4	no	—
158	#124	—	4	4	no	—
159	#124	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
160	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₄×D₄	—	4	4	no	—
164	C₄×D₄	—	4	4	no	—
165	C₄×D₄	—	4	4	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	4	4	no	—
173	#117	—	4	4	no	—
174	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	#117	#41	1	4	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
205	#107	—	4	4	no	—
206	#106	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
208	#103	—	4	4	no	—
209	#103	—	4	4	no	—
210	#103	—	4	8	no	—
211	#102	—	2	16	no	—
212	#102	—	4	8	no	—
213	#101	—	4	4	no	—
214	#100	—	4	4	no	—
215	C₄×C₈	—	4	4	no	—
216	#95	—	4	4	no	—
217	#95	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	2	2	no	—
219	C₂⁴	—	2	2	no	—
220	C₂⁴	—	2	2	no	—
221	C₂⁴	—	4	1	no	—
222	C₂⁴	—	4	1	no	—
223	C₂⁴	—	4	1	no	—
224	C₂⁴	—	4	1	no	—
225	C₂⁴	—	8	4	no	—
226	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
279	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
289	M₁₆	—	2	4	no	—
290	M₁₆	—	2	4	no	—
291	M₁₆	—	4	2	no	—
292	M₁₆	—	4	2	no	—
293	M₁₆	—	4	2	no	—
294	M₁₆	—	4	2	no	—
295	M₁₆	—	4	2	no	—
296	M₁₆	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
321	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	2	4	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	4	8	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
338	C₂³	—	2	4	no	—
339	C₂³	—	2	4	no	—
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	—	4	2	no	—
343	C₂³	—	4	2	no	—
344	C₂³	—	4	2	no	—
345	C₂³	—	4	2	no	—
346	C₂³	—	8	4	no	—
347	C₂³	—	8	4	no	—
348	C₂³	—	8	4	no	—
349	C₂³	—	8	4	no	—
350	C₂³	—	16	2	no	—
351	C₂³	—	16	2	no	—
352	C₂³	—	16	2	no	—
353	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
354	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
355	C₂³	#543	1	1	yes	characteristic
356	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂³	#551	1	1	yes	characteristic
358	C₂³	#560	1	1	yes	characteristic
359	C₂³	#563	1	1	yes	characteristic
360	Q₈	—	2	8	no	—
361	Q₈	—	4	4	no	—
362	Q₈	—	4	4	no	—
363	Q₈	—	4	4	no	—
364	D₄	—	2	8	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	8	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	16	8	no	—
390	C₂×C₄	—	16	2	no	—
391	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
407	C₈	—	4	4	no	—
408	C₈	—	4	4	no	—
409	C₈	—	8	2	no	—
410	C₂²	—	2	2	no	—
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	2	no	—
415	C₂²	—	2	2	no	—
416	C₂²	—	4	4	no	—
417	C₂²	—	8	4	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	8	4	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	—	16	2	no	—
423	C₂²	—	16	2	no	—
424	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#2376	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	#2669	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#2683	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	#2717	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	#2748	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#3290	1	4	yes	—
432	C₄	—	4	4	no	—
433	C₄	—	4	4	no	—
434	C₄	—	4	8	no	—
435	C₄	—	8	2	no	—
436	C₄	—	8	2	no	—
437	C₄	—	16	2	no	—
438	C₄	#2324	1	2	yes	—
439	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
440	C₄	#2671	1	2	yes	—
441	C₄	#2692	1	2	yes	—
442	C₂	—	2	1	no	—
443	C₂	—	2	1	no	—
444	C₂	—	2	1	no	—
445	C₂	—	2	1	no	—
446	C₂	—	8	4	no	—
447	C₂	#14401	1	1	yes	characteristic
448	C₂	#22895	1	2	yes	—
449	C₂	#30486	1	2	yes	—
450	C₂	#31255	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #20651	C₂	semidirect
6. #11339	C₂	semidirect
7. #11145	C₂	semidirect
9. #10882	C₂	semidirect
25. #1888	C₄	semidirect
51. #519	C₂×C₄	semidirect
87. C₂×#101	C₂×C₄	semidirect
107. #339	C₂×C₄	semidirect
159. #124	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1958	2
C₂×#1888	2
C₂×#1885	2
#20876	2
#20651	2
#11339	2
#11145	2
#11061	2
#10882	2