Subgroups — #386030

Order 512.

1606 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20919	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#11026	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10979	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3147	—	2	8	no	—
12	C₂×#495	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#492	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×#492	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
21	#2879	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1884	—	2	8	no	—
24	#1876	—	2	16	no	—
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
26	#1735	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
28	#1729	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×#135	—	2	8	no	—
32	C₂×#135	—	2	8	no	—
33	C₂×#135	—	2	8	no	—
34	C₂×#135	—	2	8	no	—
35	C₂×#135	—	4	4	no	—
36	C₂×#135	—	4	4	no	—
37	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	#568	—	2	4	no	—
42	#568	—	4	2	no	—
43	#568	—	4	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	8	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	#532	—	2	4	no	—
49	#532	—	4	2	no	—
50	#532	—	4	2	no	—
51	#532	D₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#121	—	4	1	no	—
59	C₂×#121	—	4	1	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
62	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#495	—	2	16	no	—
65	#494	—	2	4	no	—
66	#493	—	2	4	no	—
67	#492	—	2	4	no	—
68	#492	—	2	4	no	—
69	#421	—	2	8	no	—
70	#421	—	4	4	no	—
71	#421	—	4	4	no	—
72	#421	—	4	4	no	—
73	C₂×#104	—	2	8	no	—
74	C₂×#104	—	2	8	no	—
75	#410	—	2	4	no	—
76	#410	—	4	2	no	—
77	#410	—	4	4	no	—
78	C₂×#99	—	4	2	no	—
79	C₂×#99	—	4	2	no	—
80	#408	—	2	8	no	—
81	#407	—	4	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#341	D₄	1	8	yes	complemented
87	#340	—	2	4	no	—
88	#339	—	2	8	no	—
89	#336	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	#135	—	4	16	no	—
117	#135	—	4	16	no	—
118	#135	—	4	16	no	—
119	#135	—	4	16	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	8	no	—
130	C₂×D₈	—	2	8	no	—
131	C₂×D₈	—	4	4	no	—
132	#131	—	4	16	no	—
133	#131	—	4	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
154	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	#127	—	2	2	no	—
156	#127	—	4	1	no	—
157	#127	—	4	1	no	—
158	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	#124	—	2	4	no	—
160	#124	—	4	2	no	—
161	#124	—	4	2	no	—
162	#124	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	#121	—	4	8	no	—
164	#121	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	4	8	no	—
166	C₄×D₄	—	4	8	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	#104	—	4	16	no	—
184	#104	—	4	16	no	—
185	#99	—	4	8	no	—
186	#99	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	2	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
194	#41	—	2	8	no	—
195	#41	—	2	8	no	—
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	4	4	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	—	4	4	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	4	no	—
207	#41	—	4	4	no	—
208	#41	—	4	4	no	—
209	#41	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	8	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
262	Q₁₆	—	4	16	no	—
263	SD₁₆	—	4	16	no	—
264	SD₁₆	—	4	16	no	—
265	D₈	—	4	16	no	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	2	8	no	—
268	M₁₆	—	4	16	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	4	16	no	—
279	C₂×C₈	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	4	4	no	—
295	C₄²	—	4	4	no	—
296	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	#534	1	2	yes	—
309	C₂³	#550	1	2	yes	—
310	C₂³	#560	1	2	yes	—
311	Q₈	—	2	8	no	—
312	Q₈	—	4	4	no	—
313	Q₈	—	4	4	no	—
314	Q₈	—	4	4	no	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	4	8	no	—
317	D₄	—	4	8	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	8	8	no	—
322	D₄	—	8	8	no	—
323	D₄	—	8	4	no	—
324	D₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	8	no	—
343	C₂×C₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#540	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
356	C₈	—	2	4	no	—
357	C₈	—	2	4	no	—
358	C₈	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	16	2	no	—
370	C₂²	—	16	2	no	—
371	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2673	1	4	yes	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	8	2	no	—
379	C₄	—	16	4	no	—
380	C₄	#2328	1	2	yes	—
381	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
382	C₄	#2669	1	2	yes	—
383	C₄	#2709	1	2	yes	—
384	C₂	—	2	1	no	—
385	C₂	—	2	4	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	8	4	no	—
388	C₂	—	16	2	no	—
389	C₂	#14419	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#23196	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2366
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1884	C₂	semidirect
3. #20919	C₂	semidirect
4. #11026	C₂	semidirect
5. #10979	C₂	semidirect
6. #10818	C₂	semidirect
12. C₂×#495	C₄	semidirect
13. C₂×#494	C₄	semidirect
14. C₂×#493	C₄	semidirect
15. C₂×#492	C₄	semidirect
16. C₂×#492	C₄	semidirect
86. #341	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
C₂×#1884	2
#20919	2
#11026	2
#10979	2
#10818	2