Subgroups — #386114

Order 512.

940 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21334	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21038	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11388	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11364	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11213	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10903	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
11	#3163	—	2	4	no	—
12	#3163	—	2	4	no	—
13	C₂×#501	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#499	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#498	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2316	C₂²	1	2	yes	—
21	#2274	C₂²	1	2	yes	—
22	#1996	—	2	8	no	—
23	#1920	—	2	4	no	—
24	#1919	—	2	4	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
26	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1740	C₂²	1	2	yes	—
28	#1740	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	2	yes	—
30	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1736	C₂²	1	2	yes	—
32	#1736	C₂²	1	2	yes	—
33	#1735	C₂²	1	2	yes	—
34	#1733	C₂²	1	2	yes	—
35	#1733	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1729	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#544	—	2	4	no	—
43	#544	—	2	4	no	—
44	#544	—	4	2	no	—
45	#544	—	4	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#125	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	#501	—	2	8	no	—
58	#501	—	2	8	no	—
59	#499	—	2	8	no	—
60	#498	—	2	8	no	—
61	#428	—	2	4	no	—
62	#428	—	2	4	no	—
63	#427	—	2	2	no	—
64	#427	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
74	#405	—	2	2	no	—
75	#405	—	2	2	no	—
76	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#389	—	2	4	no	—
79	#389	—	4	2	no	—
80	#380	—	2	4	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	#344	—	2	4	no	—
85	#343	—	2	2	no	—
86	#342	—	2	4	no	—
87	#342	—	2	4	no	—
88	#342	—	2	4	no	—
89	#342	D₄	1	4	yes	—
90	#340	—	2	2	no	—
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	—	2	4	no	—
94	#339	—	4	2	no	—
95	#339	—	4	2	no	—
96	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
97	H(3,ℤ/4)	Q₈	1	4	yes	complemented
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
126	#125	—	2	8	no	—
127	#125	—	4	4	no	—
128	#125	—	4	4	no	—
129	#125	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	#117	—	2	2	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	—	2	2	no	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	8	no	—
180	#106	—	2	2	no	—
181	#106	—	2	2	no	—
182	#106	—	2	8	no	—
183	#106	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	#106	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	#106	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	#97	—	2	2	no	—
187	#97	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	4	no	—
189	#95	—	4	4	no	—
190	#95	—	4	4	no	—
191	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	16	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
214	M₁₆	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	2	4	no	—
216	M₁₆	—	4	2	no	—
217	M₁₆	—	4	2	no	—
218	M₁₆	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	—	16	4	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#536	1	2	yes	—
280	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
281	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	16	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#541	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#563	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#563	1	2	yes	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	1	no	—
323	C₈	—	2	1	no	—
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	#2327	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2365	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2674	1	2	yes	—
336	C₂²	#2677	1	2	yes	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	8	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	—	8	4	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	8	2	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	#2310	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2331	1	1	yes	characteristic
346	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2381	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2713	1	2	yes	—
349	C₄	#2716	1	2	yes	—
350	C₂	—	2	2	no	—
351	C₂	—	2	2	no	—
352	C₂	—	2	1	no	—
353	C₂	—	2	1	no	—
354	C₂	#14420	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#22456	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₂×#501	C₄	semidirect
14. C₂×#499	C₄	semidirect
15. C₂×#498	C₄	semidirect
97. H(3,ℤ/4)	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3163	2
#21334	2
#21038	2
#11388	2
#11364	2
#11213	2
#10903	2
#10814	2
#10803	2