Subgroups — #387413

Order 512.

1129 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21009	C₂	1	2	yes	maximal
3	#11389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11178	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11176	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10782	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3137	—	2	4	no	—
14	#3136	—	2	4	no	—
15	#3135	C₄	1	4	yes	complemented
16	#3131	C₄	1	4	yes	complemented
17	#2896	C₂²	1	2	yes	—
18	#2896	C₂²	1	2	yes	—
19	#2896	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1910	—	2	4	no	—
24	#1909	—	2	4	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
27	#1740	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1733	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	—	2	4	no	—
40	#568	—	4	2	no	—
41	#568	—	4	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	4	2	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#544	—	2	4	no	—
50	#544	—	4	1	no	—
51	#543	—	4	1	no	—
52	#537	—	4	1	no	—
53	#536	D₄	1	4	yes	—
54	#535	D₄	1	4	yes	—
55	#534	—	4	1	no	—
56	#533	—	4	2	no	—
57	#533	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#525	—	4	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#491	—	2	4	no	—
65	#490	—	2	4	no	—
66	#489	—	2	8	no	—
67	#488	—	2	8	no	—
68	#487	—	2	4	no	—
69	#486	—	2	4	no	—
70	#419	—	2	2	no	—
71	#419	—	2	2	no	—
72	#419	—	2	2	no	—
73	#418	—	2	2	no	—
74	#418	—	2	2	no	—
75	#418	—	2	2	no	—
76	#417	—	2	4	no	—
77	#417	—	2	4	no	—
78	#417	—	4	2	no	—
79	#416	—	2	4	no	—
80	#416	—	2	4	no	—
81	#416	—	4	2	no	—
82	#416	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#416	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#416	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×#103	—	2	2	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	#410	—	2	4	no	—
88	#410	—	4	2	no	—
89	C₂×#99	—	4	2	no	—
90	#405	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#344	—	2	4	no	—
94	#344	—	4	2	no	—
95	#342	—	4	2	no	—
96	#341	—	4	1	no	—
97	#340	—	4	1	no	—
98	#339	—	4	2	no	—
99	#338	—	4	1	no	—
100	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
101	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
102	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
103	H(3,ℤ/4)	—	4	1	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#131	—	4	8	no	—
123	#131	—	4	8	no	—
124	#131	—	4	8	no	—
125	#131	—	4	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
158	#127	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	#125	—	2	4	no	—
160	#125	—	4	4	no	—
161	#124	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
162	#123	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
166	#121	—	4	4	no	—
167	#121	—	4	4	no	—
168	#120	—	4	4	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	4	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
197	#103	—	2	4	no	—
198	#103	—	2	4	no	—
199	#103	—	2	8	no	—
200	#103	—	4	4	no	—
201	#103	—	4	4	no	—
202	#102	—	2	4	no	—
203	#102	—	2	4	no	—
204	#102	—	2	8	no	—
205	#102	—	4	4	no	—
206	#102	—	4	4	no	—
207	#99	—	4	8	no	—
208	#97	—	2	4	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂⁴	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
212	#41	—	2	4	no	—
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	4	16	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	1	no	—
283	C₂×C₈	—	2	1	no	—
284	C₂×C₈	—	2	1	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	16	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	2	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	8	1	no	—
328	C₂³	—	16	2	no	—
329	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	#534	1	2	yes	—
331	C₂³	#555	1	2	yes	—
332	C₂³	#562	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#562	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	Q₈	—	16	4	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	2	4	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	4	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	16	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	16	2	no	—
362	C₂×C₄	—	16	2	no	—
363	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#563	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	4	1	no	—
382	C₈	—	4	1	no	—
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₈	—	4	4	no	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	1	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	16	2	no	—
395	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2372	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2379	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2686	1	2	yes	—
399	C₂²	#2686	1	2	yes	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	16	2	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	#2337	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2337	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2339	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#2684	1	2	yes	—
410	C₄	#2717	1	2	yes	—
411	C₂	—	2	1	no	—
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	2	2	no	—
414	C₂	—	2	1	no	—
415	C₂	—	2	1	no	—
416	C₂	—	8	4	no	—
417	C₂	#14473	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2337
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#14473
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #11389	C₂	semidirect
4. #11178	C₂	semidirect
5. #11176	C₂	semidirect
6. #10804	C₂	semidirect
7. #10799	C₂	semidirect
8. #10793	C₂	semidirect
9. #10782	C₂	semidirect
15. #3135	C₄	semidirect
16. #3131	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60612	2
#21009	2
#11389	2
#11178	2
#11176	2
#10804	2
#10799	2
#10793	2
#10782	2