Subgroups — #389135

Order 512.

1196 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20903	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20885	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1861	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11289	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11193	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
13	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
18	#2896	C₂²	1	2	yes	—
19	#2297	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2040	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2039	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1871	—	2	8	no	—
25	#1866	—	2	8	no	—
26	#1861	—	2	8	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1733	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	#1728	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	#568	—	2	4	no	—
38	#568	—	4	2	no	—
39	#568	—	4	2	no	—
40	#568	—	4	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	4	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	#537	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#536	—	2	2	no	—
49	#535	—	2	2	no	—
50	#534	—	4	1	no	—
51	#532	—	4	1	no	—
52	#525	—	2	4	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	—	4	1	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#430	—	2	4	no	—
60	#430	—	4	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	#424	—	2	4	no	—
63	#423	—	4	1	no	—
64	#423	—	4	1	no	—
65	#423	D₄	1	4	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
67	#421	—	2	4	no	—
68	#421	—	4	2	no	—
69	C₂×#104	—	2	4	no	—
70	C₂×#104	—	2	4	no	—
71	C₂×#104	—	2	4	no	—
72	C₂×#104	—	4	2	no	—
73	C₂×#104	—	4	2	no	—
74	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#104	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×#104	D₄	1	8	yes	—
77	#419	—	2	2	no	—
78	#418	—	2	2	no	—
79	#417	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	#416	—	2	4	no	—
81	#391	—	2	2	no	—
82	#390	—	2	2	no	—
83	#386	—	4	2	no	—
84	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#380	—	4	1	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₄³	—	2	2	no	—
90	C₄³	—	4	1	no	—
91	#344	—	2	4	no	—
92	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#342	—	4	1	no	—
94	#339	—	2	4	no	—
95	#339	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	4	2	no	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	#131	—	4	8	no	—
120	#131	—	4	8	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
149	#127	—	4	1	no	—
150	#124	—	4	2	no	—
151	#123	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
153	#121	—	2	8	no	—
154	#121	—	4	4	no	—
155	#120	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
191	#108	—	4	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
194	#104	—	2	8	no	—
195	#104	—	2	8	no	—
196	#104	—	4	8	no	—
197	#104	—	4	8	no	—
198	#103	—	2	8	no	—
199	#102	—	2	8	no	—
200	#95	—	4	2	no	—
201	#95	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	2	4	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	2	no	—
216	#41	—	4	2	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	4	16	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	16	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	2	1	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	4	16	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	1	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	—	4	1	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	—	4	2	no	—
318	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂³	—	2	4	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	8	4	no	—
325	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	#538	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#546	1	2	yes	—
329	C₂³	#562	1	2	yes	—
330	Q₈	—	2	4	no	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	4	2	no	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	D₄	—	2	4	no	—
335	D₄	—	2	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	16	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#539	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#563	1	1	yes	characteristic
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	4	1	no	—
391	C₂²	—	4	1	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	8	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	—	16	2	no	—
397	C₂²	#2325	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#2379	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#2681	1	2	yes	—
401	C₂²	#2708	1	2	yes	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	4	8	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	8	2	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	—	16	2	no	—
409	C₄	#2322	1	2	yes	—
410	C₄	#2361	1	2	yes	—
411	C₄	#2679	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#2680	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#2728	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2782	1	1	yes	characteristic
415	C₂	—	2	1	no	—
416	C₂	—	2	2	no	—
417	C₂	—	2	2	no	—
418	C₂	—	2	1	no	—
419	C₂	—	8	4	no	—
420	C₂	#14535	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#22899	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2358
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20885	C₂	semidirect
4. C₂×#1861	C₂	semidirect
5. #11289	C₂	semidirect
6. #11212	C₂	semidirect
7. #11193	C₂	semidirect
8. #10923	C₂	semidirect
9. #10839	C₂	semidirect
22. #2040	C₄	semidirect
23. #2039	C₄	semidirect
65. #423	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23498	2
#20903	2
#20885	2
C₂×#1861	2
#11289	2
#11212	2
#11193	2
#10923	2
#10839	2