Subgroups — #38918

Order 256.

1322 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2717	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2686	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2622	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2483	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2447	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2412	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#546	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#124	—	2	8	no	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#123	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#388	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#387	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	4	yes	—
63	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#386	C₂²	1	2	yes	—
65	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#385	C₂²	1	2	yes	—
68	#385	C₂²	1	2	yes	—
69	#385	C₂²	1	2	yes	—
70	#385	C₂²	1	2	yes	—
71	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#381	C₂²	1	2	yes	—
75	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
77	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
79	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
80	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
81	#379	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
85	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	4	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
110	#124	—	2	8	no	—
111	#124	—	2	8	no	—
112	#124	—	2	16	no	—
113	#124	—	2	4	no	—
114	#123	—	2	8	no	—
115	#123	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
118	#121	—	2	4	no	—
119	#121	—	2	8	no	—
120	#120	—	2	8	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	4	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
181	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	4	16	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	16	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	#41	1	4	yes	complemented
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	16	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
297	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	4	8	no	—
300	Q₈	—	4	8	no	—
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	D₄	—	2	8	no	—
303	D₄	—	2	8	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	8	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	1	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	8	16	no	—
369	C₂²	#547	1	4	yes	—
370	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#585	1	2	yes	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	4	1	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	1	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	1	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	#534	1	4	yes	—
388	C₂	—	2	4	no	—
389	C₂	—	4	4	no	—
390	C₂	—	4	4	no	—
391	C₂	—	8	1	no	—
392	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#3514	1	2	yes	—
396	C₂	#3561	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#546	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#124	C₂	semidirect
3. #2855	C₂	semidirect
4. #2717	C₂	semidirect
5. #2686	C₂	semidirect
6. #2622	C₂	semidirect
7. #2547	C₂	semidirect
8. #2483	C₂	semidirect
9. #2447	C₂	semidirect
10. #2434	C₂	semidirect
11. #2432	C₂	semidirect
12. #2427	C₂	semidirect
13. #2412	C₂	semidirect
14. #2409	C₂	semidirect
15. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
16. #2315	C₂	semidirect
17. C₄×#123	C₂	semidirect
22. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #397	C₂²	semidirect
45. #397	C₂²	semidirect
46. #397	C₂²	semidirect
47. #397	C₂²	semidirect
48. #395	C₂²	semidirect
49. #395	C₂²	semidirect
50. #394	C₂²	semidirect
51. #394	C₂²	semidirect
52. #394	C₂²	semidirect
53. #393	C₂²	semidirect
54. #391	C₂²	semidirect
55. #391	C₂²	semidirect
56. #391	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #387	C₂²	semidirect
61. #387	C₂²	semidirect
65. #386	C₂²	semidirect
71. #385	C₂²	semidirect
72. #385	C₂²	semidirect
73. #385	C₂²	semidirect
76. #381	C₂²	semidirect
78. #380	C₂²	semidirect
79. #380	C₂²	semidirect
80. #380	C₂²	semidirect
82. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
84. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
268. C₂²⋊C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
C₂²×#124	2
#2855	2
#2717	2
#2686	2
#2622	2
#2547	2
#2483	2
#2447	2
#2434	2
#2432	2
#2427	2
#2412	2
#2409	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2315	2
C₄×#123	2