Subgroups — #390414

Order 512.

1325 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 445 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1905	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1902	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1886	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11300	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11056	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10751	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#137	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
14	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2016	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2013	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1905	—	2	8	no	—
25	#1902	—	2	8	no	—
26	#1886	—	2	8	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1733	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#137	—	2	4	no	—
39	C₂×#137	—	2	4	no	—
40	C₂×#137	—	2	4	no	—
41	C₂×#137	—	2	4	no	—
42	C₂×#137	—	4	2	no	—
43	C₂×#137	—	4	2	no	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	#568	—	2	2	no	—
47	#568	—	2	4	no	—
48	#568	—	4	1	no	—
49	C₂×#131	—	4	2	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	4	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#519	—	2	4	no	—
59	#519	—	2	4	no	—
60	#519	—	2	4	no	—
61	#519	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
64	C₂×#117	—	4	2	no	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#424	—	4	2	no	—
71	#423	—	4	1	no	—
72	#421	—	2	4	no	—
73	#421	—	2	4	no	—
74	C₂×#104	—	4	2	no	—
75	#419	—	2	4	no	—
76	#419	—	2	4	no	—
77	#419	—	4	2	no	—
78	#419	—	4	2	no	—
79	#419	—	4	2	no	—
80	#419	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×#103	—	4	2	no	—
82	C₂×#103	—	4	2	no	—
83	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×#101	—	2	4	no	—
85	C₂×#101	—	2	4	no	—
86	C₂×#101	—	4	2	no	—
87	#410	—	4	1	no	—
88	#410	D₄	1	4	yes	—
89	C₂×#99	—	4	1	no	—
90	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#386	—	4	1	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
94	#344	—	2	4	no	—
95	#344	—	2	4	no	—
96	#342	—	4	1	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#339	—	4	2	no	—
100	#338	—	2	4	no	—
101	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
102	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×#41	—	2	1	no	—
104	C₂×#41	—	2	1	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×Q₈	#41	1	4	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#137	—	4	8	no	—
133	#137	—	4	8	no	—
134	#137	—	4	8	no	—
135	#137	—	4	8	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
142	#131	—	4	8	no	—
143	#131	—	4	8	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
164	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
172	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
173	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	4	8	no	—
185	#117	—	4	8	no	—
186	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
207	#104	—	4	8	no	—
208	#103	—	4	8	no	—
209	#103	—	4	8	no	—
210	#103	—	4	8	no	—
211	#101	—	4	8	no	—
212	#99	—	4	4	no	—
213	#95	—	4	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	1	no	—
215	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
254	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
255	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	1	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
294	Q₁₆	—	4	16	no	—
295	SD₁₆	—	4	16	no	—
296	M₁₆	—	2	4	no	—
297	M₁₆	—	2	4	no	—
298	M₁₆	—	4	8	no	—
299	M₁₆	—	4	2	no	—
300	M₁₆	—	4	2	no	—
301	M₁₆	—	4	2	no	—
302	M₁₆	—	4	2	no	—
303	M₁₆	—	4	2	no	—
304	M₁₆	—	4	2	no	—
305	M₁₆	—	4	2	no	—
306	M₁₆	—	4	2	no	—
307	M₁₆	—	4	2	no	—
308	M₁₆	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	2	4	no	—
313	C₂×C₈	—	4	8	no	—
314	C₂×C₈	—	4	2	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₂×C₈	—	4	2	no	—
317	C₂×C₈	—	4	2	no	—
318	C₂×C₈	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
332	C₄²	—	2	4	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	2	4	no	—
335	C₄²	—	4	16	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	—	4	2	no	—
338	C₄²	—	4	1	no	—
339	C₄²	—	4	1	no	—
340	C₄²	—	4	1	no	—
341	C₄²	—	4	1	no	—
342	C₂³	—	2	2	no	—
343	C₂³	—	4	2	no	—
344	C₂³	—	4	1	no	—
345	C₂³	—	4	1	no	—
346	C₂³	—	8	2	no	—
347	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
348	C₂³	#534	1	1	yes	characteristic
349	C₂³	#539	1	1	yes	characteristic
350	C₂³	#546	1	2	yes	—
351	C₂³	#560	1	2	yes	—
352	Q₈	—	2	8	no	—
353	Q₈	—	2	8	no	—
354	Q₈	—	2	4	no	—
355	Q₈	—	4	4	no	—
356	Q₈	—	4	2	no	—
357	Q₈	—	4	4	no	—
358	Q₈	—	4	4	no	—
359	Q₈	—	4	4	no	—
360	Q₈	—	4	4	no	—
361	Q₈	—	4	4	no	—
362	D₄	—	2	4	no	—
363	D₄	—	4	4	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	2	no	—
390	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#538	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#560	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	#560	1	1	yes	characteristic
408	C₈	—	4	4	no	—
409	C₈	—	4	4	no	—
410	C₈	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	2	4	no	—
413	C₂²	—	4	2	no	—
414	C₂²	—	4	1	no	—
415	C₂²	—	4	1	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	—	8	2	no	—
418	C₂²	—	8	2	no	—
419	C₂²	—	16	1	no	—
420	C₂²	#2325	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#2668	1	2	yes	—
424	C₂²	#2693	1	2	yes	—
425	C₄	—	4	4	no	—
426	C₄	—	4	2	no	—
427	C₄	—	4	8	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	—	8	4	no	—
430	C₄	—	8	2	no	—
431	C₄	#2325	1	2	yes	—
432	C₄	#2358	1	2	yes	—
433	C₄	#2668	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#2675	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#2693	1	1	yes	characteristic
436	C₄	#2760	1	1	yes	characteristic
437	C₂	—	2	1	no	—
438	C₂	—	2	2	no	—
439	C₂	—	2	1	no	—
440	C₂	—	2	2	no	—
441	C₂	—	8	2	no	—
442	C₂	#14572	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#23360	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2380
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1886	C₂	semidirect
5. #11300	C₂	semidirect
6. #11059	C₂	semidirect
8. #10786	C₂	semidirect
22. #2016	C₄	semidirect
23. #2013	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23432	2
C₂×#1905	2
C₂×#1902	2
C₂×#1886	2
#11300	2
#11059	2
#11056	2
#10786	2
#10751	2