Subgroups — #39121

Order 256.

1275 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2729	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2728	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2561	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2534	C₂	1	2	yes	maximal
10	#2503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2429	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
43	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#397	C₂²	1	4	yes	—
49	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#396	C₂²	1	4	yes	—
51	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#394	C₂²	1	4	yes	—
53	#393	C₂²	1	4	yes	—
54	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#388	C₂²	1	4	yes	—
60	#388	C₂²	1	4	yes	—
61	#388	C₂²	1	4	yes	—
62	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#386	C₂²	1	4	yes	—
66	#386	C₂²	1	2	yes	—
67	#385	C₂²	1	2	yes	—
68	#385	C₂²	1	4	yes	—
69	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#385	C₂²	1	2	yes	—
71	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#381	C₂²	1	2	yes	—
74	#381	C₂²	1	2	yes	—
75	#381	C₂²	1	2	yes	—
76	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#380	C₂²	1	2	yes	—
79	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
80	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#379	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
89	C₂²×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	#123	—	2	8	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
113	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
118	#120	—	2	4	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	8	no	—
123	C₄×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
293	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	8	no	—
296	Q₈	—	2	8	no	—
297	Q₈	—	4	8	no	—
298	Q₈	—	4	8	no	—
299	Q₈	—	4	4	no	—
300	D₄	—	2	8	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	4	16	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	#548	1	4	yes	—
362	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	1	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	#534	1	4	yes	—
381	C₂	—	2	4	no	—
382	C₂	—	4	2	no	—
383	C₂	—	4	4	no	—
384	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#3520	1	2	yes	—
388	C₂	#3538	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#120	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
2. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2848	C₂	semidirect
4. #2729	C₂	semidirect
5. #2728	C₂	semidirect
6. #2627	C₂	semidirect
7. #2561	C₂	semidirect
8. #2536	C₂	semidirect
10. #2503	C₂	semidirect
11. #2486	C₂	semidirect
12. #2429	C₂	semidirect
13. #2421	C₂	semidirect
14. #2409	C₂	semidirect
15. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
16. #2322	C₂	semidirect
19. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
32. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
33. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
43. #400	C₂²	semidirect
44. #400	C₂²	semidirect
45. #398	C₂²	semidirect
46. #398	C₂²	semidirect
47. #398	C₂²	semidirect
49. #397	C₂²	semidirect
51. #395	C₂²	semidirect
54. #391	C₂²	semidirect
55. #391	C₂²	semidirect
56. #391	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
62. #388	C₂²	semidirect
63. #387	C₂²	semidirect
71. #385	C₂²	semidirect
72. #382	C₂²	semidirect
79. #380	C₂²	semidirect
89. C₂²×Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2848	2
#2729	2
#2728	2
#2627	2
#2561	2
#2536	2
#2534	2
#2503	2
#2486	2
#2429	2
#2421	2
#2409	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2322	2
C₄×#120	2