Subgroups — #39167

Order 256.

1191 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2723	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2544	C₂	1	2	yes	maximal
9	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2415	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2409	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2326	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#556	—	2	8	no	—
17	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	#399	C₂²	1	4	yes	—
37	#397	C₂²	1	8	yes	—
38	#397	C₂²	1	4	yes	—
39	#395	C₂²	1	8	yes	—
40	#394	C₂²	1	8	yes	—
41	#393	C₂²	1	8	yes	—
42	#391	C₂²	1	2	yes	—
43	#391	C₂²	1	2	yes	—
44	#391	C₂²	1	2	yes	—
45	#391	C₂²	1	4	yes	—
46	#391	C₂²	1	2	yes	—
47	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#390	C₂²	1	4	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#389	C₂²	1	8	yes	—
52	#389	C₂²	1	2	yes	—
53	#388	C₂²	1	8	yes	—
54	#387	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	8	yes	—
56	#385	C₂²	1	8	yes	—
57	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#384	C₂²	1	2	yes	—
59	#382	C₂²	1	4	yes	—
60	#380	C₂²	1	4	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#376	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
66	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
78	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
79	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
80	#127	—	2	4	no	—
81	#126	—	2	16	no	—
82	#124	—	2	8	no	—
83	#124	—	2	8	no	—
84	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
85	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
86	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
90	C₄×D₄	—	2	4	no	—
91	C₄×D₄	—	2	8	no	—
92	C₄×D₄	—	2	4	no	—
93	C₄×D₄	—	4	8	no	—
94	#117	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	#95	C₂³	1	4	yes	—
127	#95	C₂³	1	4	yes	—
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	2	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	#95	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
144	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	4	4	no	—
153	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
184	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
195	C₄²	—	2	8	no	—
196	C₄²	—	2	4	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	4	no	—
199	C₄²	—	2	4	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	4	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
213	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
214	Q₈	—	2	8	no	—
215	Q₈	—	4	16	no	—
216	Q₈	—	4	8	no	—
217	Q₈	—	4	8	no	—
218	D₄	—	2	8	no	—
219	D₄	—	4	16	no	—
220	D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	4	2	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	4	4	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	4	no	—
263	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	C₄	—	2	4	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	4	no	—
271	C₄	—	2	4	no	—
272	C₄	—	4	2	no	—
273	C₄	—	4	2	no	—
274	C₄	—	4	4	no	—
275	C₄	—	4	4	no	—
276	C₄	—	4	4	no	—
277	C₄	—	4	2	no	—
278	C₄	#535	1	4	yes	—
279	C₄	#548	1	4	yes	—
280	C₂	—	4	4	no	—
281	C₂	—	8	2	no	—
282	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
283	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
285	C₂	#3520	1	2	yes	—
286	C₂	#3550	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#556	C₂	semidirect
2. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #2862	C₂	semidirect
4. #2723	C₂	semidirect
5. #2640	C₂	semidirect
6. #2567	C₂	semidirect
7. #2547	C₂	semidirect
9. #2542	C₂	semidirect
10. #2415	C₂	semidirect
11. #2409	C₂	semidirect
12. #2326	C₂	semidirect
14. #2295	C₂	semidirect
89. C₄×Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#556	2
C₂×D₄×Q₈	2
#2862	2
#2723	2
#2640	2
#2567	2
#2547	2
#2544	2
#2542	2
#2415	2
#2409	2
#2326	2
C₄×#127	2
#2295	2