Subgroups — #391722

Order 512.

1860 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 441 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20586	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11155	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11148	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10988	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10985	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
19	#2879	C₂²	1	2	yes	—
20	#2435	—	2	2	no	—
21	#2435	C₄	1	4	yes	complemented
22	#2432	—	2	2	no	—
23	#2432	C₄	1	4	yes	complemented
24	#2405	—	2	4	no	—
25	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2309	C₂²	1	2	yes	—
27	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1785	—	2	2	no	—
30	#1783	—	2	2	no	—
31	#1781	—	2	4	no	—
32	#1733	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
36	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
37	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	#536	—	4	4	no	—
49	#536	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#124	—	2	2	no	—
53	C₂×#124	—	2	1	no	—
54	C₂×#124	—	4	4	no	—
55	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#123	—	2	2	no	—
58	C₂×#123	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#419	—	4	4	no	—
67	#419	—	4	4	no	—
68	C₂×#103	—	4	4	no	—
69	#413	—	4	4	no	—
70	C₂×#101	—	2	2	no	—
71	C₂×#100	—	2	4	no	—
72	C₂×#100	—	2	2	no	—
73	C₂×#100	—	4	4	no	—
74	#410	—	4	4	no	—
75	#410	—	4	4	no	—
76	C₂×#99	—	2	4	no	—
77	C₂×#99	—	2	4	no	—
78	#408	—	4	4	no	—
79	#407	—	2	4	no	—
80	#394	—	2	8	no	—
81	#394	—	2	8	no	—
82	#391	—	2	1	no	—
83	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	1	no	—
86	#390	—	4	4	no	—
87	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#386	—	2	2	no	—
90	#386	—	2	2	no	—
91	#385	—	2	8	no	—
92	#379	—	2	8	no	—
93	#379	—	2	2	no	—
94	#379	—	2	4	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
97	#339	—	4	4	no	—
98	#339	—	4	4	no	—
99	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
100	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
103	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
104	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
105	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂×#41	—	4	4	no	—
114	C₂×#41	—	4	4	no	—
115	C₂×#41	—	4	4	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
147	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	#124	—	4	8	no	—
161	#124	—	4	4	no	—
162	#124	—	4	8	no	—
163	#124	—	4	4	no	—
164	#123	—	4	8	no	—
165	#123	—	4	8	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
196	#103	—	4	16	no	—
197	#101	—	4	4	no	—
198	#100	—	4	8	no	—
199	#100	—	4	4	no	—
200	#99	—	4	8	no	—
201	#99	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	4	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	—	8	4	no	—
212	C₂⁴	—	8	8	no	—
213	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	#41	—	4	32	no	—
218	#41	—	4	32	no	—
219	#41	—	4	4	no	—
220	#41	—	4	4	no	—
221	#41	—	4	4	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	4	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	64	no	—
268	C₂×D₄	—	4	32	no	—
269	C₂×D₄	—	4	32	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
300	M₁₆	—	4	4	no	—
301	M₁₆	—	4	4	no	—
302	M₁₆	—	4	4	no	—
303	M₁₆	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	4	no	—
305	C₂×C₈	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	16	8	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	4	4	no	—
329	C₄²	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	4	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	2	4	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	4	8	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	4	no	—
343	C₂³	—	4	16	no	—
344	C₂³	—	4	8	no	—
345	C₂³	—	8	8	no	—
346	C₂³	—	8	8	no	—
347	C₂³	—	16	8	no	—
348	C₂³	—	16	4	no	—
349	C₂³	—	16	8	no	—
350	C₂³	—	16	8	no	—
351	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂³	#534	1	2	yes	—
353	C₂³	#534	1	2	yes	—
354	C₂³	#534	1	2	yes	—
355	Q₈	—	4	4	no	—
356	Q₈	—	4	4	no	—
357	Q₈	—	4	8	no	—
358	Q₈	—	8	4	no	—
359	D₄	—	4	16	no	—
360	D₄	—	4	16	no	—
361	D₄	—	4	8	no	—
362	D₄	—	4	8	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	4	8	no	—
366	D₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	16	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	8	no	—
389	C₂×C₄	—	8	4	no	—
390	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
398	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
399	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	—
400	C₈	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	4	no	—
403	C₂²	—	4	2	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	4	8	no	—
406	C₂²	—	4	4	no	—
407	C₂²	—	4	8	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	4	2	no	—
412	C₂²	—	4	2	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	2	no	—
417	C₂²	—	16	8	no	—
418	C₂²	—	16	16	no	—
419	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#2812	1	4	yes	—
423	C₄	—	4	2	no	—
424	C₄	—	4	2	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	—	8	2	no	—
428	C₄	—	8	2	no	—
429	C₄	—	16	4	no	—
430	C₄	#2375	1	4	yes	—
431	C₄	#2812	1	4	yes	—
432	C₂	—	2	1	no	—
433	C₂	—	2	1	no	—
434	C₂	—	2	4	no	—
435	C₂	—	8	4	no	—
436	C₂	—	8	2	no	—
437	C₂	—	8	2	no	—
438	C₂	#14657	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#21784	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11160	C₂	semidirect
5. #11155	C₂	semidirect
6. #11148	C₂	semidirect
7. #10988	C₂	semidirect
8. #10985	C₂	semidirect
9. #10977	C₂	semidirect
14. C₂×#419	C₂²	semidirect
21. #2435	C₄	semidirect
23. #2432	C₄	semidirect
32. #1733	C₂²	semidirect
33. C₂×#339	C₂²	semidirect
34. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35616	2
#20592	2
#20586	2
#11160	2
#11155	2
#11148	2
#10988	2
#10985	2
#10977	2