Subgroups — #392187

Order 512.

3442 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1812	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20660	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20584	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10759	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#568	—	2	16	no	—
9	C₂×#568	—	2	8	no	—
10	C₂²×#131	C₄	1	4	yes	complemented
11	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#410	C₂²	1	8	yes	—
18	#2280	C₂²	1	4	yes	—
19	#1812	—	2	16	no	—
20	#1809	—	2	8	no	—
21	#1782	—	2	4	no	—
22	#1781	—	2	4	no	—
23	#1735	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂²×#41	—	2	8	no	—
26	C₂²×#41	—	2	8	no	—
27	C₂²×#41	—	2	4	no	—
28	C₂²×#41	—	2	4	no	—
29	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
31	C₂²×#41	Q₈	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
35	C₂³×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#568	—	2	64	no	—
39	#568	—	2	64	no	—
40	C₂×#131	—	2	8	no	—
41	C₂×#131	—	2	16	no	—
42	C₂×#131	—	2	16	no	—
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂×#131	—	2	16	no	—
45	C₂×#131	—	2	8	no	—
46	C₂×#131	—	2	8	no	—
47	C₂×#131	—	2	8	no	—
48	C₂×#131	D₄	1	16	yes	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
55	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
68	#427	—	2	16	no	—
69	C₂×#107	—	2	4	no	—
70	C₂×#106	—	2	4	no	—
71	#410	—	2	16	no	—
72	#410	—	2	16	no	—
73	C₂×#99	—	2	16	no	—
74	#381	—	2	4	no	—
75	#380	—	2	8	no	—
76	#379	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	#340	—	2	8	no	—
79	H(3,ℤ/4)	—	2	16	no	—
80	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
81	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#41	—	2	32	no	—
83	C₂×#41	—	2	32	no	—
84	C₂×#41	—	2	64	no	—
85	C₂×#41	—	2	8	no	—
86	C₂×#41	—	2	16	no	—
87	C₂×#41	—	2	8	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	2	8	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	#131	—	2	64	no	—
130	#131	—	2	128	no	—
131	#131	—	2	32	no	—
132	#131	—	2	32	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	128	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	#117	—	2	16	no	—
170	#117	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	#107	—	4	8	no	—
176	#106	—	4	8	no	—
177	#99	—	4	32	no	—
178	#95	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	8	2	no	—
183	C₂⁴	—	8	4	no	—
184	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	2	16	no	—
190	#41	—	2	64	no	—
191	#41	—	2	64	no	—
192	#41	—	2	16	no	—
193	#41	—	2	32	no	—
194	#41	—	2	16	no	—
195	#41	—	2	16	no	—
196	#41	—	2	16	no	—
197	#41	—	2	16	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	64	no	—
205	C₂×D₄	—	2	32	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	#121	1	16	yes	—
216	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	M₁₆	—	2	16	no	—
259	M₁₆	—	2	32	no	—
260	M₁₆	—	2	16	no	—
261	M₁₆	—	2	16	no	—
262	M₁₆	—	2	16	no	—
263	M₁₆	—	2	32	no	—
264	C₂×C₈	—	2	32	no	—
265	C₂×C₈	—	2	16	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	32	no	—
272	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	#120	1	8	yes	—
278	C₂×C₈	#120	1	8	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
283	C₄²	—	4	16	no	—
284	C₂³	—	2	16	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	8	8	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	8	16	no	—
298	C₂³	#380	1	2	yes	—
299	C₂³	#380	1	2	yes	—
300	C₂³	#380	1	8	yes	—
301	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
304	Q₈	—	2	16	no	—
305	Q₈	—	2	16	no	—
306	D₄	—	2	32	no	—
307	D₄	—	2	16	no	—
308	D₄	—	2	32	no	—
309	D₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	32	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	16	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	2	8	no	—
345	C₈	#379	1	8	yes	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	8	8	no	—
360	C₂²	—	8	16	no	—
361	C₂²	C₂×#380	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#2847	1	4	yes	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	8	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	16	8	no	—
368	C₄	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2280	1	2	yes	—
371	C₄	#2848	1	4	yes	—
372	C₂	—	2	4	no	—
373	C₂	—	2	2	no	—
374	C₂	—	4	2	no	—
375	C₂	—	4	2	no	—
376	C₂	—	4	8	no	—
377	C₂	#14680	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20671	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1812	C₂	semidirect
3. #20660	C₂	semidirect
5. #10759	C₂	semidirect
6. #10717	C₂	semidirect
10. C₂²×#131	C₄	semidirect
13. C₂³×M₁₆	C₄	semidirect
16. C₂×#427	C₂²	semidirect
23. #1735	C₂²	semidirect
24. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
152. C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
162. C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#568	2
C₂×#1812	2
#20660	2
#20584	2
#10759	2
#10717	2