Subgroups — #392188

Order 512.

3478 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1813	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1810	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20591	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10760	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂²⋊#338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#131	—	2	16	no	—
9	C₂²×#131	—	2	8	no	—
10	C₂²×#131	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×#131	C₄	1	2	yes	—
12	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
15	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#413	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
21	#1813	—	2	16	no	—
22	#1810	—	2	8	no	—
23	#1785	—	2	4	no	—
24	#1784	—	2	2	no	—
25	#1783	—	2	2	no	—
26	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#338	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂²×#41	—	2	8	no	—
29	C₂²×#41	—	2	8	no	—
30	C₂²×#41	—	2	4	no	—
31	C₂²×#41	—	2	4	no	—
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	Q₈	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₄	Q₈	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#131	—	2	128	no	—
42	C₂×#131	—	2	8	no	—
43	C₂×#131	—	2	16	no	—
44	C₂×#131	—	2	8	no	—
45	C₂×#131	—	2	16	no	—
46	C₂×#131	—	2	8	no	—
47	C₂×#131	—	2	8	no	—
48	C₂×#131	—	2	8	no	—
49	C₂×#131	—	2	8	no	—
50	C₂×#131	—	2	8	no	—
51	C₂×#131	D₄	1	16	yes	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
55	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
62	C₂³×C₈	—	2	16	no	—
63	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
64	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₈	D₄	1	8	yes	—
72	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#108	—	2	8	no	—
75	C₂×#108	—	2	16	no	—
76	#413	—	2	16	no	—
77	#413	—	2	16	no	—
78	C₂×#101	—	2	8	no	—
79	C₂×#100	—	2	8	no	—
80	#407	—	2	8	no	—
81	#407	—	2	4	no	—
82	#407	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
84	#341	—	2	8	no	—
85	#338	—	2	16	no	—
86	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#41	—	2	32	no	—
89	C₂×#41	—	2	32	no	—
90	C₂×#41	—	2	64	no	—
91	C₂×#41	—	2	8	no	—
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	2	16	no	—
94	C₂×#41	—	2	8	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	8	no	—
99	C₂×#41	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
105	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
106	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	#131	—	2	64	no	—
136	#131	—	2	64	no	—
137	#131	—	2	64	no	—
138	#131	—	2	64	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
154	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	64	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	#108	—	4	16	no	—
185	#101	—	4	16	no	—
186	#100	—	4	16	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	8	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	4	8	no	—
194	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	#41	—	2	16	no	—
200	#41	—	2	64	no	—
201	#41	—	2	64	no	—
202	#41	—	2	16	no	—
203	#41	—	2	32	no	—
204	#41	—	2	16	no	—
205	#41	—	2	16	no	—
206	#41	—	2	16	no	—
207	#41	—	2	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	#121	1	8	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	64	no	—
215	C₂×D₄	—	2	32	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	#121	1	8	yes	—
226	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
256	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	M₁₆	—	2	16	no	—
268	M₁₆	—	2	32	no	—
269	M₁₆	—	2	16	no	—
270	M₁₆	—	2	32	no	—
271	M₁₆	—	4	8	no	—
272	M₁₆	—	4	16	no	—
273	M₁₆	—	4	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	16	no	—
275	C₂×C₈	—	2	32	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	8	no	—
283	C₂×C₈	—	2	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	32	no	—
285	C₂×C₈	—	2	8	no	—
286	C₂×C₈	—	4	8	no	—
287	C₂×C₈	—	4	16	no	—
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#120	1	16	yes	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	16	no	—
299	C₂³	—	2	8	no	—
300	C₂³	—	2	8	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	2	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	16	no	—
309	C₂³	—	4	32	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	#380	1	2	yes	—
313	C₂³	#380	1	2	yes	—
314	C₂³	#380	1	8	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
318	Q₈	—	2	16	no	—
319	Q₈	—	2	16	no	—
320	D₄	—	2	32	no	—
321	D₄	—	2	16	no	—
322	D₄	—	2	32	no	—
323	D₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	32	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
345	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	2	8	no	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	8	8	no	—
359	C₈	#379	1	4	yes	—
360	C₈	#379	1	4	yes	—
361	C₂²	—	2	8	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	8	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	16	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	32	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	#1813	1	4	yes	complemented
377	C₂²	C₂×#380	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#2848	1	4	yes	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	8	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2280	1	2	yes	—
386	C₄	#2847	1	4	yes	—
387	C₂	—	2	4	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	4	2	no	—
391	C₂	—	4	8	no	—
392	C₂	#14680	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#1813	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1813	C₂	semidirect
3. C₂×#1810	C₂	semidirect
5. #10760	C₂	semidirect
6. C₂²⋊#338	C₂	semidirect
18. C₂²×#108	C₂²	semidirect
26. C₂×#341	C₂²	semidirect
27. C₂×#338	C₂²	semidirect
376. C₂²	#1813	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#131	2
C₂×#1813	2
C₂×#1810	2
#20591	2
#10760	2
C₂²⋊#338	2