Subgroups — #392216

Order 512.

5666 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1779	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#14680	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10730	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂⁵×C₄	—	2	1	no	—
7	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
9	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
10	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
11	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#379	—	2	1	no	—
20	#1823	—	2	16	no	—
21	#1779	—	2	4	no	—
22	C₂×#340	C₂²	1	16	yes	complemented
23	C₂²⋊#95	—	2	1	no	—
24	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
25	C₂⁶	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
27	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
28	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
30	C₂⁴×C₄	—	2	4	no	—
31	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
32	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
33	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
34	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
35	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	D₄	1	4	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
65	#380	—	2	8	no	—
66	#380	—	2	16	no	—
67	#379	—	4	4	no	—
68	C₂×#95	—	2	2	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	#340	—	2	32	no	—
71	C₂⁵	—	2	4	no	—
72	C₂⁵	—	2	8	no	—
73	C₂⁵	—	2	4	no	—
74	C₂⁵	—	2	8	no	—
75	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
76	C₂⁵	D₈	1	4	yes	—
77	C₂⁵	SD₁₆	1	4	yes	—
78	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
149	#95	—	4	4	no	—
150	#95	—	4	8	no	—
151	C₂⁴	—	2	32	no	—
152	C₂⁴	—	2	64	no	—
153	C₂⁴	—	2	32	no	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	2	8	no	—
161	C₂⁴	—	2	16	no	—
162	C₂⁴	—	2	8	no	—
163	C₂⁴	—	2	16	no	—
164	C₂⁴	—	2	16	no	—
165	C₂⁴	—	2	16	no	—
166	C₂⁴	—	2	32	no	—
167	C₂⁴	—	2	32	no	—
168	C₂⁴	#102	1	16	yes	—
169	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
172	C₂⁴	#123	1	8	yes	—
173	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂×D₈	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
177	C₂⁴	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
178	C₂⁴	#137	1	8	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	256	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
225	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
228	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	16	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
241	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
242	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
244	C₂³	—	2	32	no	—
245	C₂³	—	2	32	no	—
246	C₂³	—	2	128	no	—
247	C₂³	—	2	128	no	—
248	C₂³	—	2	64	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	16	no	—
254	C₂³	—	2	16	no	—
255	C₂³	—	2	16	no	—
256	C₂³	—	2	64	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	16	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	16	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	32	no	—
270	C₂³	#379	1	4	yes	—
271	C₂³	#381	1	8	yes	—
272	C₂³	C₂×#102	1	8	yes	—
273	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
274	C₂³	#418	1	4	yes	—
275	C₂³	#419	1	8	yes	—
276	C₂³	#447	1	8	yes	—
277	C₂³	#450	1	8	yes	—
278	C₂³	#480	1	16	yes	—
279	C₂³	#483	1	16	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	—	2	64	no	—
288	C₂×C₄	—	2	32	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	32	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	4	128	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	16	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	64	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#381	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
317	C₈	—	8	4	no	—
318	C₂²	—	2	128	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	16	no	—
325	C₂²	—	2	32	no	—
326	C₂²	—	2	16	no	—
327	C₂²	—	2	32	no	—
328	C₂²	—	2	8	no	—
329	C₂²	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	#1786	1	8	yes	—
334	C₂²	#1823	1	16	yes	complemented
335	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#381	1	2	yes	—
337	C₂²	#2849	1	4	yes	—
338	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#419	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂×#447	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂×#450	1	2	yes	—
343	C₂²	#3004	1	4	yes	—
344	C₂²	C₂×#480	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂×#483	1	4	yes	—
346	C₂²	#3092	1	8	yes	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	4	16	no	—
350	C₄	—	16	4	no	—
351	C₄	#2280	1	4	yes	—
352	C₄	#2849	1	4	yes	—
353	C₂	—	2	16	no	—
354	C₂	—	2	8	no	—
355	C₂	#14681	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#1786	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20599	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#1823	1	2	yes	—
359	C₂	#20700	1	2	yes	—
360	C₂	#32978	1	4	yes	—
361	C₂	#32982	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁶	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁵×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1823	C₂	semidirect
5. #10730	C₂	semidirect
12. C₂³×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
22. C₂×#340	C₂²	semidirect
138. C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
334. C₂²	#1823	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₄⋊C₄	2
C₂×#1823	2
C₂×#1779	2
#14680	2
#10730	2