Subgroups — #392237

Order 512.

3491 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62652	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20708	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20586	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10743	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10740	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
9	#3428	—	2	2	no	—
10	#3428	C₄	1	4	yes	complemented
11	#3428	C₂²	1	2	yes	—
12	#3428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#518	—	2	2	no	—
14	C₂×#518	—	2	4	no	—
15	C₂×#518	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
21	#2879	C₂²	1	2	yes	—
22	#2309	C₂²	1	2	yes	—
23	#1827	—	2	16	no	—
24	#1785	—	2	2	no	—
25	#1783	—	2	2	no	—
26	#1781	—	2	4	no	—
27	#1733	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
30	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
31	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	D₄	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	#520	—	2	16	no	—
42	#520	—	2	8	no	—
43	#520	—	2	16	no	—
44	#520	—	2	8	no	—
45	#519	—	2	2	no	—
46	#519	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#518	—	2	32	no	—
48	#518	—	2	16	no	—
49	#518	—	2	8	no	—
50	#518	—	2	8	no	—
51	#518	—	2	4	no	—
52	#518	—	2	2	no	—
53	#518	—	2	4	no	—
54	#518	—	2	4	no	—
55	#518	—	2	16	no	—
56	#518	—	2	8	no	—
57	#518	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#518	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₄×#41	—	2	16	no	—
60	C₄×#41	—	2	16	no	—
61	C₄×#41	—	2	8	no	—
62	C₄×#41	D₄	1	16	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
67	C₂×#117	—	2	8	no	—
68	C₂×#117	—	2	4	no	—
69	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	#413	—	2	8	no	—
75	C₂×#101	—	2	2	no	—
76	C₂×#100	—	2	4	no	—
77	C₂×#100	—	2	2	no	—
78	C₂×#100	—	2	8	no	—
79	#410	—	2	8	no	—
80	#410	—	2	8	no	—
81	C₂×#99	—	2	4	no	—
82	C₂×#99	—	2	4	no	—
83	#408	—	2	8	no	—
84	#407	—	2	4	no	—
85	#390	—	2	8	no	—
86	#379	—	2	4	no	—
87	#339	—	2	16	no	—
88	H(3,ℤ/4)	—	2	16	no	—
89	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
92	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
93	C₂×#41	—	2	8	no	—
94	C₂×#41	—	2	8	no	—
95	C₂×#41	—	2	8	no	—
96	C₂×#41	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	8	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
129	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
140	C₄×D₄	—	2	32	no	—
141	C₄×D₄	—	2	64	no	—
142	C₄×D₄	—	2	32	no	—
143	C₄×D₄	—	2	64	no	—
144	C₄×D₄	—	2	16	no	—
145	C₄×D₄	—	2	32	no	—
146	C₄×D₄	—	2	16	no	—
147	C₄×D₄	—	2	32	no	—
148	#117	—	2	8	no	—
149	#117	—	2	16	no	—
150	#117	—	2	8	no	—
151	#117	—	2	16	no	—
152	#117	—	2	8	no	—
153	#117	—	2	8	no	—
154	#117	—	2	8	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	—	2	8	no	—
158	#117	—	2	8	no	—
159	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
160	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	#101	—	4	4	no	—
184	#100	—	4	4	no	—
185	#100	—	4	8	no	—
186	#99	—	4	8	no	—
187	#99	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	8	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	16	2	no	—
195	C₂⁴	—	16	4	no	—
196	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂⁴	#123	1	8	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	2	64	no	—
202	#41	—	2	64	no	—
203	#41	—	2	16	no	—
204	#41	—	2	16	no	—
205	#41	—	2	16	no	—
206	#41	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
212	C₂×Q₈	#120	1	4	yes	—
213	C₂×D₄	—	2	128	no	—
214	C₂×D₄	—	2	64	no	—
215	C₂×D₄	—	2	64	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	16	no	—
233	C₂×D₄	—	2	16	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	8	no	—
236	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
237	C₂×D₄	#117	1	8	yes	—
238	C₂×D₄	#120	1	4	yes	—
239	C₂×D₄	#120	1	8	yes	—
240	C₂×D₄	#123	1	8	yes	—
241	C₂×D₄	#123	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	16	16	no	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
265	M₁₆	—	4	4	no	—
266	M₁₆	—	4	4	no	—
267	M₁₆	—	4	8	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	16	8	no	—
283	C₄²	—	2	16	no	—
284	C₄²	—	2	8	no	—
285	C₄²	—	2	16	no	—
286	C₄²	—	4	8	no	—
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
288	C₂³	—	2	32	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	16	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	8	1	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	8	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	8	no	—
302	C₂³	—	8	16	no	—
303	C₂³	—	16	4	no	—
304	C₂³	—	16	8	no	—
305	C₂³	—	16	8	no	—
306	C₂³	#379	1	4	yes	—
307	C₂³	#381	1	8	yes	—
308	C₂³	#381	1	4	yes	—
309	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
313	Q₈	—	2	8	no	—
314	Q₈	—	2	8	no	—
315	D₄	—	2	32	no	—
316	D₄	—	2	32	no	—
317	D₄	—	2	16	no	—
318	D₄	—	2	16	no	—
319	D₄	—	2	8	no	—
320	D₄	—	2	16	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	2	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	32	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	16	no	—
330	C₂×C₄	—	2	16	no	—
331	C₂×C₄	—	8	8	no	—
332	C₂×C₄	—	8	16	no	—
333	C₂×C₄	—	8	32	no	—
334	C₂×C₄	—	8	16	no	—
335	C₂×C₄	—	8	8	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
347	C₈	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	8	16	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	32	no	—
366	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2849	1	4	yes	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	4	16	no	—
373	C₄	—	16	4	no	—
374	C₄	#2280	1	4	yes	—
375	C₄	#2849	1	4	yes	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	4	8	no	—
381	C₂	—	4	4	no	—
382	C₂	—	4	4	no	—
383	C₂	#14681	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#14681
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20708	C₂	semidirect
5. #10743	C₂	semidirect
6. #10740	C₂	semidirect
10. #3428	C₄	semidirect
15. C₂×#518	C₄	semidirect
27. #1733	C₂²	semidirect
28. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
159. #117	C₂²⋊C₄	semidirect
181. C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62652	2
#20708	2
#20592	2
#20586	2
#10743	2
#10740	2