Subgroups — #392251

Order 512.

3786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1785	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10763	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10762	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×#41	—	2	8	no	—
9	C₂×C₄×#41	—	2	8	no	—
10	C₂×C₄×#41	—	2	8	no	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#117	C₄	1	2	yes	—
15	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₄²	C₄	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
21	#1822	—	2	8	no	—
22	#1817	—	2	8	no	—
23	#1785	—	2	8	no	—
24	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
25	#1728	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂²×#41	—	2	8	no	—
27	C₂²×#41	—	2	8	no	—
28	C₂²×#41	—	2	4	no	—
29	C₂²×#41	—	2	4	no	—
30	C₂²×#41	D₄	1	8	yes	—
31	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
39	C₄×#41	—	2	128	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
49	C₂×#117	—	2	8	no	—
50	C₂×#117	—	2	4	no	—
51	C₂×#117	—	2	4	no	—
52	C₂×#117	—	2	8	no	—
53	C₂×#117	—	2	8	no	—
54	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#101	—	2	8	no	—
71	C₂×#101	—	2	16	no	—
72	C₂×#100	—	2	8	no	—
73	C₂×#100	—	2	16	no	—
74	#407	—	2	8	no	—
75	#407	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
77	#343	—	2	16	no	—
78	#336	—	2	16	no	—
79	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#41	—	2	64	no	—
82	C₂×#41	—	2	64	no	—
83	C₂×#41	—	2	32	no	—
84	C₂×#41	—	2	32	no	—
85	C₂×#41	—	2	32	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
131	C₄×D₄	—	2	128	no	—
132	C₄×D₄	—	2	64	no	—
133	#117	—	2	64	no	—
134	#117	—	2	32	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	64	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	#101	—	4	16	no	—
165	#100	—	4	16	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	4	no	—
172	C₂⁴	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	—	4	8	no	—
174	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂⁴	#117	1	8	yes	—
179	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
180	#41	—	2	256	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
185	C₂×Q₈	#123	1	16	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	32	no	—
187	C₂×D₄	—	2	32	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	16	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	16	no	—
193	C₂×D₄	—	2	16	no	—
194	C₂×D₄	—	2	16	no	—
195	C₂×D₄	#123	1	16	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
243	M₁₆	—	4	8	no	—
244	M₁₆	—	4	8	no	—
245	M₁₆	—	4	16	no	—
246	C₂×C₈	—	4	8	no	—
247	C₂×C₈	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄²	—	2	32	no	—
253	C₄²	—	2	16	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	16	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	#379	1	4	yes	—
277	C₂³	#381	1	8	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
283	Q₈	—	2	32	no	—
284	D₄	—	2	64	no	—
285	D₄	—	2	32	no	—
286	C₂×C₄	—	2	64	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	32	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	32	no	—
304	C₂×C₄	—	4	64	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#381	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#413	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
318	C₈	—	8	8	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	8	no	—
326	C₂²	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	4	16	no	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	4	16	no	—
335	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2280	1	2	yes	—
339	C₂²	#2280	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#413	1	4	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	8	no	—
343	C₄	—	2	8	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	4	8	no	—
346	C₄	#2849	1	8	yes	—
347	C₂	—	2	1	no	—
348	C₂	—	2	1	no	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	4	4	no	—
351	C₂	—	4	8	no	—
352	C₂	#14681	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20591	1	2	yes	—
354	C₂	#20728	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1822	C₂	semidirect
3. #20682	C₂	semidirect
5. #10763	C₂	semidirect
6. #10762	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#1822	2
#20682	2
C₂×#1785	2
#10763	2
#10762	2