Subgroups — #392277

Order 512.

3469 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62652	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20710	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1795	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10785	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10783	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
10	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
11	#3428	—	2	2	no	—
12	#3428	C₄	1	4	yes	complemented
13	#3428	C₂²	1	2	yes	—
14	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#518	—	2	2	no	—
17	C₂×#518	—	2	4	no	—
18	C₂×#518	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
24	#1830	—	2	2	no	—
25	#1829	—	2	2	no	—
26	#1828	—	2	4	no	—
27	#1827	—	2	8	no	—
28	#1795	—	2	8	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1740	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1733	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
34	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
36	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	8	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	1	no	—
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	#520	—	2	16	no	—
47	#520	—	2	8	no	—
48	#520	—	2	4	no	—
49	#520	—	2	4	no	—
50	#520	—	2	4	no	—
51	#520	—	2	8	no	—
52	#520	—	2	4	no	—
53	#519	—	2	1	no	—
54	#519	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#519	D₄	1	2	yes	—
56	#518	—	2	32	no	—
57	#518	—	2	16	no	—
58	#518	—	2	8	no	—
59	#518	—	2	1	no	—
60	#518	—	2	2	no	—
61	#518	—	2	4	no	—
62	#518	—	2	8	no	—
63	#518	—	2	8	no	—
64	#518	—	2	4	no	—
65	#518	—	2	4	no	—
66	#518	—	2	8	no	—
67	#518	—	2	4	no	—
68	#518	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#518	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#518	D₄	1	2	yes	—
71	#518	D₄	1	4	yes	—
72	C₄×#41	—	2	16	no	—
73	C₄×#41	—	2	8	no	—
74	C₄×#41	—	2	4	no	—
75	C₄×#41	—	2	4	no	—
76	C₄×#41	—	2	8	no	—
77	C₄×#41	—	2	4	no	—
78	C₄×#41	D₄	1	8	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂×#117	—	2	8	no	—
86	C₂×#117	—	2	4	no	—
87	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	#421	—	2	8	no	—
95	#421	—	2	8	no	—
96	C₂×#104	—	2	8	no	—
97	#418	—	2	8	no	—
98	#418	—	2	8	no	—
99	C₂×#102	—	2	8	no	—
100	#413	—	2	4	no	—
101	#413	—	2	4	no	—
102	C₂×#101	—	2	2	no	—
103	C₂×#100	—	2	2	no	—
104	#410	—	2	4	no	—
105	#410	—	2	4	no	—
106	C₂×#99	—	2	4	no	—
107	#344	—	2	8	no	—
108	#342	—	2	8	no	—
109	#339	—	2	8	no	—
110	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
111	C₂⁵	—	2	2	no	—
112	C₂⁵	—	2	1	no	—
113	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
114	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
115	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
116	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
117	C₂×#41	—	2	16	no	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	2	8	no	—
120	C₂×#41	—	2	8	no	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
127	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
153	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
157	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₄×D₄	—	2	16	no	—
171	C₄×D₄	—	2	16	no	—
172	C₄×D₄	—	2	32	no	—
173	C₄×D₄	—	2	32	no	—
174	C₄×D₄	—	2	16	no	—
175	C₄×D₄	—	2	16	no	—
176	C₄×D₄	—	2	32	no	—
177	C₄×D₄	—	2	32	no	—
178	C₄×D₄	—	2	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	16	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	C₄×D₄	—	2	16	no	—
182	C₄×D₄	—	2	8	no	—
183	C₄×D₄	—	2	16	no	—
184	C₄×D₄	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	2	16	no	—
186	#117	—	2	8	no	—
187	#117	—	2	16	no	—
188	#117	—	2	8	no	—
189	#117	—	2	16	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	4	no	—
192	#117	—	2	4	no	—
193	#117	—	2	4	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	8	no	—
199	#117	—	2	4	no	—
200	#117	—	2	4	no	—
201	#117	—	2	4	no	—
202	#117	—	2	4	no	—
203	#117	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
204	#117	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
205	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
206	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
207	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
228	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
230	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	#104	—	4	16	no	—
236	#102	—	4	16	no	—
237	#101	—	4	4	no	—
238	#100	—	4	4	no	—
239	#99	—	4	8	no	—
240	C₂⁴	—	2	16	no	—
241	C₂⁴	—	2	2	no	—
242	C₂⁴	—	2	1	no	—
243	C₂⁴	—	2	4	no	—
244	C₂⁴	—	2	8	no	—
245	C₂⁴	—	2	8	no	—
246	C₂⁴	—	16	2	no	—
247	C₂⁴	—	16	4	no	—
248	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	#41	—	2	64	no	—
251	#41	—	2	32	no	—
252	#41	—	2	16	no	—
253	#41	—	2	16	no	—
254	#41	—	2	8	no	—
255	#41	—	2	8	no	—
256	#41	—	2	8	no	—
257	#41	—	2	8	no	—
258	#41	—	2	8	no	—
259	#41	—	2	8	no	—
260	#41	—	2	8	no	—
261	#41	#123	1	16	yes	—
262	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
265	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
267	C₂×Q₈	#120	1	4	yes	—
268	C₂×D₄	—	2	16	no	—
269	C₂×D₄	—	2	16	no	—
270	C₂×D₄	—	2	128	no	—
271	C₂×D₄	—	2	64	no	—
272	C₂×D₄	—	2	32	no	—
273	C₂×D₄	—	2	4	no	—
274	C₂×D₄	—	2	8	no	—
275	C₂×D₄	—	2	8	no	—
276	C₂×D₄	—	2	8	no	—
277	C₂×D₄	—	2	16	no	—
278	C₂×D₄	—	2	16	no	—
279	C₂×D₄	—	2	1	no	—
280	C₂×D₄	—	2	2	no	—
281	C₂×D₄	—	2	4	no	—
282	C₂×D₄	—	2	2	no	—
283	C₂×D₄	—	2	4	no	—
284	C₂×D₄	—	2	8	no	—
285	C₂×D₄	—	2	4	no	—
286	C₂×D₄	—	2	8	no	—
287	C₂×D₄	—	2	8	no	—
288	C₂×D₄	—	2	8	no	—
289	C₂×D₄	—	2	8	no	—
290	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
292	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
293	C₂×D₄	#117	1	8	yes	—
294	C₂×D₄	#120	1	4	yes	—
295	C₂×D₄	#120	1	8	yes	—
296	C₂×D₄	#123	1	16	yes	—
297	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
306	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂²×C₄	—	16	8	no	—
312	C₂²×C₄	—	16	16	no	—
313	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
314	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
321	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
322	M₁₆	—	4	4	no	—
323	M₁₆	—	4	4	no	—
324	M₁₆	—	4	4	no	—
325	M₁₆	—	4	4	no	—
326	C₂×C₈	—	4	4	no	—
327	C₂×C₈	—	4	4	no	—
328	C₂×C₈	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
335	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
347	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
348	C₄²	—	2	16	no	—
349	C₄²	—	2	4	no	—
350	C₄²	—	2	4	no	—
351	C₄²	—	2	4	no	—
352	C₄²	—	2	8	no	—
353	C₄²	—	2	8	no	—
354	C₄²	—	4	4	no	—
355	C₄²	—	4	4	no	—
356	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
357	C₂³	—	2	32	no	—
358	C₂³	—	2	2	no	—
359	C₂³	—	2	4	no	—
360	C₂³	—	2	16	no	—
361	C₂³	—	2	4	no	—
362	C₂³	—	2	8	no	—
363	C₂³	—	2	4	no	—
364	C₂³	—	8	1	no	—
365	C₂³	—	8	2	no	—
366	C₂³	—	8	8	no	—
367	C₂³	—	8	16	no	—
368	C₂³	—	8	4	no	—
369	C₂³	—	8	2	no	—
370	C₂³	—	16	8	no	—
371	C₂³	—	16	16	no	—
372	C₂³	#379	1	4	yes	—
373	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
375	C₂³	#525	1	4	yes	—
376	Q₈	—	2	8	no	—
377	Q₈	—	2	2	no	—
378	Q₈	—	2	4	no	—
379	Q₈	#381	1	4	yes	—
380	D₄	—	2	32	no	—
381	D₄	—	2	32	no	—
382	D₄	—	2	16	no	—
383	D₄	—	2	16	no	—
384	D₄	—	2	8	no	—
385	D₄	—	2	16	no	—
386	D₄	—	2	4	no	—
387	D₄	—	2	2	no	—
388	D₄	—	2	4	no	—
389	D₄	—	2	8	no	—
390	D₄	#381	1	4	yes	—
391	D₄	#381	1	8	yes	—
392	C₂×C₄	—	2	32	no	—
393	C₂×C₄	—	2	2	no	—
394	C₂×C₄	—	2	4	no	—
395	C₂×C₄	—	2	4	no	—
396	C₂×C₄	—	2	16	no	—
397	C₂×C₄	—	2	4	no	—
398	C₂×C₄	—	2	4	no	—
399	C₂×C₄	—	2	8	no	—
400	C₂×C₄	—	2	8	no	—
401	C₂×C₄	—	2	8	no	—
402	C₂×C₄	—	8	4	no	—
403	C₂×C₄	—	8	4	no	—
404	C₂×C₄	—	8	8	no	—
405	C₂×C₄	—	8	8	no	—
406	C₂×C₄	—	8	32	no	—
407	C₂×C₄	—	8	16	no	—
408	C₂×C₄	—	8	4	no	—
409	C₂×C₄	—	16	4	no	—
410	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
411	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
412	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
413	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
417	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
418	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
419	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
420	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
421	C₈	—	8	4	no	—
422	C₂²	—	2	4	no	—
423	C₂²	—	2	8	no	—
424	C₂²	—	2	4	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	4	no	—
427	C₂²	—	4	1	no	—
428	C₂²	—	4	4	no	—
429	C₂²	—	4	8	no	—
430	C₂²	—	4	4	no	—
431	C₂²	—	8	16	no	—
432	C₂²	—	8	8	no	—
433	C₂²	—	8	4	no	—
434	C₂²	—	8	4	no	—
435	C₂²	—	8	32	no	—
436	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
437	C₂²	#2280	1	2	yes	—
438	C₂²	#2849	1	4	yes	—
439	C₄	—	2	4	no	—
440	C₄	—	2	4	no	—
441	C₄	—	4	8	no	—
442	C₄	—	4	8	no	—
443	C₄	—	16	4	no	—
444	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
445	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
446	C₄	#2280	1	2	yes	—
447	C₄	#2849	1	4	yes	—
448	C₂	—	2	1	no	—
449	C₂	—	2	4	no	—
450	C₂	—	2	2	no	—
451	C₂	—	4	8	no	—
452	C₂	—	4	4	no	—
453	C₂	—	4	4	no	—
454	C₂	#14681	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#14681
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20713	C₂	semidirect
3. #20710	C₂	semidirect
4. #20708	C₂	semidirect
6. #10785	C₂	semidirect
7. #10783	C₂	semidirect
12. #3428	C₄	semidirect
18. C₂×#518	C₄	semidirect
29. C₂×#344	C₂²	semidirect
30. #1740	C₂²	semidirect
31. #1733	C₂²	semidirect
32. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62652	2
#20713	2
#20710	2
#20708	2
C₂×#1795	2
#10785	2
#10783	2