Subgroups — #392306

Order 512.

1486 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 243 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20626	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10724	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	4	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1837	—	2	8	no	—
18	#1797	—	2	8	no	—
19	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
21	#1728	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂⁴×C₄	Q₈	1	2	yes	—
23	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
25	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
27	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
28	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#423	—	2	8	no	—
40	#423	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
42	#407	—	2	16	no	—
43	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
44	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
45	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
46	C₂×#97	—	2	8	no	—
47	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
54	#341	—	2	16	no	—
55	#341	—	2	16	no	—
56	#336	—	2	8	no	—
57	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
63	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
64	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
76	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
88	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
89	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
97	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
106	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
107	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
108	#97	—	2	16	no	—
109	C₄×C₈	—	2	4	no	—
110	C₄×C₈	—	2	4	no	—
111	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
112	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	4	4	no	—
116	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂⁴	#125	1	4	yes	—
118	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
136	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
142	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
143	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
150	M₁₆	—	2	64	no	—
151	M₁₆	—	4	16	no	—
152	M₁₆	—	4	16	no	—
153	C₂×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂×C₈	—	2	16	no	—
158	C₂×C₈	—	2	16	no	—
159	C₂×C₈	—	4	8	no	—
160	C₂×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂×C₈	—	4	8	no	—
162	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	4	no	—
167	C₄²	—	2	8	no	—
168	C₄²	—	2	8	no	—
169	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₄²	#117	1	2	yes	—
172	C₄²	#117	1	2	yes	—
173	C₄²	#121	1	8	yes	—
174	C₂³	—	2	4	no	—
175	C₂³	—	2	8	no	—
176	C₂³	—	2	8	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	4	8	no	—
180	C₂³	—	4	8	no	—
181	C₂³	—	4	8	no	—
182	C₂³	#382	1	4	yes	—
183	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
185	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
186	C₂³	#533	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	16	no	—
192	C₂×C₄	—	2	16	no	—
193	C₂×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	4	16	no	—
198	C₂×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂×C₄	—	4	16	no	—
200	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
201	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
202	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
203	C₂×C₄	#430	1	8	yes	—
204	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	#529	1	8	yes	—
212	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
213	C₈	—	2	8	no	—
214	C₈	—	2	8	no	—
215	C₈	—	8	8	no	—
216	C₂²	—	2	4	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	2	4	no	—
219	C₂²	—	2	8	no	—
220	C₂²	—	2	4	no	—
221	C₂²	—	4	16	no	—
222	C₂²	—	4	4	no	—
223	C₂²	—	4	4	no	—
224	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	#2851	1	4	yes	—
228	C₂²	C₂×#430	1	4	yes	—
229	C₄	—	2	4	no	—
230	C₄	—	2	4	no	—
231	C₄	—	4	4	no	—
232	C₄	#1811	1	8	yes	—
233	C₄	#2280	1	2	yes	—
234	C₄	#2283	1	2	yes	—
235	C₄	#2850	1	4	yes	—
236	C₂	—	2	4	no	—
237	C₂	—	4	4	no	—
238	C₂	#14682	1	1	yes	characteristic
239	C₂	C₂×#1811	1	2	yes	—
240	C₂	#20769	1	2	yes	—
241	C₂	#20831	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1837	C₂	semidirect
4. #10844	C₂	semidirect
5. #10823	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1837	2
#20626	2
#10844	2
#10823	2
#10724	2