Subgroups — #392315

Order 512.

1398 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20648	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10827	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10774	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
12	C₄×#131	—	2	4	no	—
13	C₄×#131	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#405	—	2	2	no	—
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	#1837	—	2	4	no	—
22	#1834	—	2	1	no	—
23	#1834	—	2	1	no	—
24	#1834	—	2	2	no	—
25	#1803	—	2	2	no	—
26	#1803	—	2	2	no	—
27	#1802	—	2	2	no	—
28	#1802	—	2	2	no	—
29	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#131	—	2	8	no	—
35	C₂×#131	—	2	8	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₄×#41	—	2	2	no	—
44	C₄×#41	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#117	—	2	1	no	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#423	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	#417	—	2	16	no	—
65	C₂×#103	—	2	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	4	no	—
67	#405	—	2	4	no	—
68	#405	—	2	16	no	—
69	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
72	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×#97	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#384	—	2	2	no	—
87	#343	—	2	16	no	—
88	#341	—	2	8	no	—
89	#340	—	2	4	no	—
90	#340	—	2	4	no	—
91	#340	—	2	4	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	1	no	—
94	C₂×#41	—	2	1	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	#131	—	2	32	no	—
110	#131	—	2	16	no	—
111	#131	—	2	16	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
122	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₄×D₄	—	2	4	no	—
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
144	#117	—	2	1	no	—
145	#117	—	2	1	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
182	#103	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#97	—	2	8	no	—
185	#97	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	8	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
191	C₂⁴	—	2	1	no	—
192	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	8	no	—
195	#41	—	2	8	no	—
196	#41	—	2	4	no	—
197	#41	#117	1	8	yes	—
198	#41	#125	1	8	yes	—
199	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂×Q₈	#124	1	4	yes	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	1	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂×D₄	#124	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	2	32	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	8	no	—
247	M₁₆	—	4	8	no	—
248	M₁₆	—	4	8	no	—
249	M₁₆	#117	1	8	yes	—
250	C₂×C₈	—	2	32	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
274	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₄²	#121	1	2	yes	—
289	C₄²	#121	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	#529	1	4	yes	—
304	Q₈	—	2	4	no	—
305	Q₈	—	2	2	no	—
306	Q₈	#382	1	4	yes	—
307	D₄	—	2	8	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	4	no	—
310	D₄	—	2	2	no	—
311	D₄	#382	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	16	8	no	—
334	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#472	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#473	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
354	C₈	—	2	4	no	—
355	C₈	—	2	8	no	—
356	C₈	—	2	4	no	—
357	C₈	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2283	1	2	yes	—
371	C₂²	#2850	1	2	yes	—
372	C₂²	#2851	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂×#472	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#473	1	1	yes	characteristic
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	16	4	no	—
382	C₄	#1815	1	4	yes	—
383	C₄	#1816	1	4	yes	—
384	C₄	#2280	1	2	yes	—
385	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2850	1	2	yes	—
388	C₄	#2851	1	2	yes	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	4	4	no	—
392	C₂	#14682	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#1815	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#1816	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#33060	1	2	yes	—
396	C₂	#33061	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1837	C₂	semidirect
3. C₂×#1834	C₂	semidirect
5. #10857	C₂	semidirect
6. #10827	C₂	semidirect
13. C₄×#131	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₂×#1837	2
C₂×#1834	2
#20648	2
#10857	2
#10827	2
#10774	2