Subgroups — #392403

Order 512.

1324 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1827	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10805	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10764	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×#131	—	2	4	no	—
18	C₄×#131	—	2	4	no	—
19	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1827	—	2	8	no	—
28	#1813	—	2	4	no	—
29	#1812	—	2	4	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
35	#1729	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄×#41	—	2	2	no	—
56	C₄×#41	—	2	2	no	—
57	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
58	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	C₂×#108	—	2	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	#427	—	2	4	no	—
72	#427	—	2	4	no	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#106	—	2	2	no	—
75	#413	—	2	4	no	—
76	#413	—	2	4	no	—
77	C₂×#101	—	2	2	no	—
78	C₂×#100	—	2	2	no	—
79	#410	—	2	4	no	—
80	#410	—	2	4	no	—
81	C₂×#99	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	8	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	#405	—	2	2	no	—
85	#405	—	2	8	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	#344	—	2	8	no	—
105	#339	—	2	8	no	—
106	#338	—	2	4	no	—
107	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
108	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
109	#336	—	2	8	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#131	—	2	16	no	—
126	#131	—	2	16	no	—
127	#131	—	2	8	no	—
128	#131	—	2	8	no	—
129	#131	—	2	8	no	—
130	#131	—	2	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
174	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	8	no	—
178	C₄×D₄	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	#117	—	2	4	no	—
181	#117	—	2	1	no	—
182	#117	—	2	1	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
188	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
208	#108	—	4	4	no	—
209	#108	—	4	4	no	—
210	#107	—	4	4	no	—
211	#106	—	4	4	no	—
212	#101	—	4	4	no	—
213	#100	—	4	4	no	—
214	#99	—	4	8	no	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	#97	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	4	no	—
220	C₄×C₈	—	2	2	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
226	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	4	no	—
229	#41	—	2	4	no	—
230	#41	—	2	4	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	4	no	—
233	#41	—	2	4	no	—
234	#41	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	#121	1	2	yes	—
238	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	#121	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
245	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
246	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	2	16	no	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	16	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	M₁₆	—	4	4	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	16	no	—
284	C₂×C₈	—	2	1	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	2	8	no	—
296	C₂×C₈	—	4	4	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	—	4	4	no	—
299	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
303	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
311	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
312	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
313	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄²	—	2	1	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	2	1	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	—	2	2	no	—
329	C₄²	—	2	8	no	—
330	C₄²	—	4	4	no	—
331	C₄²	—	4	4	no	—
332	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
334	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	#380	1	4	yes	—
340	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	#529	1	2	yes	—
344	C₂³	#529	1	2	yes	—
345	Q₈	—	2	4	no	—
346	Q₈	—	2	4	no	—
347	D₄	—	2	8	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	2	4	no	—
350	D₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	16	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	8	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
387	C₈	—	2	4	no	—
388	C₈	—	2	2	no	—
389	C₈	—	2	4	no	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	8	4	no	—
392	C₈	#381	1	2	yes	—
393	C₈	#381	1	2	yes	—
394	C₈	#381	1	4	yes	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	4	no	—
397	C₂²	—	2	4	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	4	4	no	—
404	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2854	1	2	yes	—
408	C₂²	#2855	1	2	yes	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	2	4	no	—
411	C₄	—	4	2	no	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	16	4	no	—
414	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2854	1	2	yes	—
419	C₄	#2855	1	2	yes	—
420	C₂	—	2	1	no	—
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	—	2	1	no	—
423	C₂	—	2	2	no	—
424	C₂	—	4	4	no	—
425	C₂	#14685	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#20787	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2283
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10868	C₂	semidirect
6. #10859	C₂	semidirect
7. #10805	C₂	semidirect
8. #10800	C₂	semidirect
19. C₂×#405	C₄	semidirect
20. C₂×#405	C₄	semidirect
23. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
25. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₂×#1827	2
C₂×#1813	2
C₂×#1812	2
#10868	2
#10859	2
#10805	2
#10800	2
#10764	2