Subgroups — #392456

Order 512.

1930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1809	C₂	1	4	yes	maximal
5	#14686	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10863	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#380	—	2	4	no	—
21	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
22	#1845	—	2	4	no	—
23	#1844	—	2	4	no	—
24	#1809	—	2	16	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
26	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
36	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#107	—	2	8	no	—
54	C₂×#107	—	2	8	no	—
55	C₂×#107	—	2	8	no	—
56	C₂×#106	—	2	8	no	—
57	C₂×#106	—	2	8	no	—
58	C₂×#106	—	2	8	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
60	C₂×#97	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	—	2	4	no	—
62	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
69	#384	—	2	4	no	—
70	#384	—	2	4	no	—
71	#384	—	2	4	no	—
72	#384	—	2	4	no	—
73	#380	—	2	16	no	—
74	#380	—	4	16	no	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	8	no	—
77	#340	—	2	16	no	—
78	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
106	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	#107	—	4	16	no	—
157	#106	—	4	16	no	—
158	#97	—	2	16	no	—
159	C₄×C₈	—	2	8	no	—
160	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
161	#95	—	4	16	no	—
162	#95	—	4	8	no	—
163	C₂⁴	—	2	1	no	—
164	C₂⁴	—	2	1	no	—
165	C₂⁴	—	2	1	no	—
166	C₂⁴	—	2	1	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	4	no	—
169	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	M₁₆	—	2	64	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
241	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
242	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
243	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	16	no	—
258	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₄²	#117	1	4	yes	—
260	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	#384	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	32	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#428	1	16	yes	—
317	C₂×C₄	#468	1	16	yes	—
318	C₂×C₄	#469	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#470	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
336	C₈	—	2	8	no	—
337	C₈	#380	1	16	yes	complemented
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#428	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×#468	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂×#469	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×#470	1	2	yes	—
358	C₂²	#3151	1	2	yes	—
359	C₂²	#3152	1	2	yes	—
360	C₂²	#3165	1	4	yes	—
361	C₂²	#3182	1	4	yes	—
362	C₂²	#3184	1	2	yes	—
363	C₂²	#3185	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	16	4	no	—
367	C₄	—	16	4	no	—
368	C₄	#1809	1	16	yes	complemented
369	C₄	C₂×#380	1	2	yes	—
370	C₄	#2285	1	2	yes	—
371	C₄	#2857	1	2	yes	—
372	C₄	#2857	1	2	yes	—
373	C₂	—	4	4	no	—
374	C₂	#14686	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#1809	1	2	yes	—
376	C₂	#20800	1	2	yes	—
377	C₂	#20824	1	2	yes	—
378	C₂	#33174	1	2	yes	—
379	C₂	#33175	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#33176	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#33210	1	2	yes	—
382	C₂	#33212	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1845	C₂	semidirect
3. C₂×#1844	C₂	semidirect
6. #10863	C₂	semidirect
7. #10841	C₂	semidirect
14. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
106. C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
160. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
337. C₈	#380	semidirect
368. C₄	#1809	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1845	2
C₂×#1844	2
C₂×#1809	2
#14686	2
#10863	2
#10841	2