Subgroups — #392459

Order 512.

1858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1809	C₂	1	4	yes	maximal
4	#14686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14682	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10862	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10861	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#380	—	2	2	no	—
21	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
23	#1847	—	2	8	no	—
24	#1809	—	2	16	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
31	#1434	—	2	2	no	—
32	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
33	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
39	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#107	—	2	8	no	—
56	C₂×#107	—	2	8	no	—
57	C₂×#107	—	2	8	no	—
58	C₂×#106	—	2	8	no	—
59	C₂×#106	—	2	8	no	—
60	C₂×#106	—	2	8	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#384	—	2	4	no	—
69	#384	—	2	4	no	—
70	#382	—	2	4	no	—
71	#382	—	2	4	no	—
72	#380	—	2	8	no	—
73	#380	—	2	8	no	—
74	#380	—	4	8	no	—
75	C₂×#95	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	#340	—	2	8	no	—
82	#340	—	2	8	no	—
83	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
107	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
152	#107	—	4	16	no	—
153	#106	—	4	16	no	—
154	#97	—	2	8	no	—
155	#97	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
156	C₄×C₈	—	2	16	no	—
157	#95	—	4	8	no	—
158	#95	—	4	4	no	—
159	#95	—	4	4	no	—
160	#95	—	4	4	no	—
161	#95	—	4	8	no	—
162	#95	—	4	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	M₁₆	—	2	64	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
233	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
234	C₂×C₈	#121	1	16	yes	—
235	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	16	no	—
251	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₄²	#117	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	#384	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#532	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
277	C₂³	#575	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	32	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	8	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#428	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
323	C₈	—	2	8	no	—
324	C₈	#380	1	16	yes	complemented
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2856	1	2	yes	—
337	C₂²	#2857	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×#428	1	2	yes	—
339	C₂²	#2911	1	2	yes	—
340	C₂²	#3055	1	4	yes	—
341	C₂²	#3056	1	4	yes	—
342	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3153	1	2	yes	—
345	C₂²	#3165	1	2	yes	—
346	C₂²	#3166	1	2	yes	—
347	C₂²	#3171	1	4	yes	—
348	C₂²	#3172	1	4	yes	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	8	no	—
351	C₄	—	2	8	no	—
352	C₄	—	16	4	no	—
353	C₄	—	16	2	no	—
354	C₄	—	16	2	no	—
355	C₄	C₂×#380	1	2	yes	—
356	C₄	#2285	1	2	yes	—
357	C₄	#2857	1	4	yes	—
358	C₂	—	4	4	no	—
359	C₂	#14686	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20661	1	2	yes	—
361	C₂	#20800	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20801	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20819	1	2	yes	—
364	C₂	#33185	1	2	yes	—
365	C₂	#33186	1	2	yes	—
366	C₂	#33218	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1847	C₂	semidirect
6. #10862	C₂	semidirect
7. #10861	C₂	semidirect
8. #10843	C₂	semidirect
14. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
107. C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
155. #97	C₂²⋊C₄	semidirect
324. C₈	#380	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1847	2
C₂×#1809	2
#14686	2
#14682	2
#10862	2
#10861	2
#10843	2