Subgroups — #392464

Order 512.

1504 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20797	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1812	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20632	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10866	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#427	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
11	C₄×#131	—	2	2	no	—
12	C₄×#131	—	2	2	no	—
13	C₄×#131	—	2	4	no	—
14	C₂×#405	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	4	yes	—
21	#1846	—	2	4	no	—
22	#1845	—	2	2	no	—
23	#1844	—	2	2	no	—
24	#1812	—	2	16	no	—
25	#1799	—	2	8	no	—
26	#1740	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#131	—	2	4	no	—
30	C₂×#131	—	2	4	no	—
31	C₂×#131	—	2	8	no	—
32	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
33	C₂×#131	Q₈	1	8	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₄×#41	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	—	2	2	no	—
40	C₄×#41	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#427	—	2	16	no	—
50	#427	—	2	16	no	—
51	C₂×#107	—	2	8	no	—
52	C₂×#106	—	2	8	no	—
53	#410	—	2	16	no	—
54	C₂×#99	—	2	8	no	—
55	#405	—	2	4	no	—
56	#405	—	2	4	no	—
57	#405	—	2	8	no	—
58	#405	—	2	8	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
76	#384	—	2	4	no	—
77	#382	—	2	4	no	—
78	#380	—	2	8	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
80	#342	—	2	8	no	—
81	H(3,ℤ/4)	—	2	16	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	#131	—	2	16	no	—
95	#131	—	2	16	no	—
96	#131	—	2	16	no	—
97	#131	—	2	16	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
103	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
117	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	8	no	—
120	C₄×D₄	—	2	8	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	2	no	—
124	#117	—	2	2	no	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	16	no	—
128	#117	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
148	#107	—	4	16	no	—
149	#106	—	4	16	no	—
150	#99	—	4	16	no	—
151	#97	—	2	8	no	—
152	#97	—	2	4	no	—
153	C₄×C₈	—	2	4	no	—
154	C₄×C₈	—	2	4	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	#95	—	4	8	no	—
165	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	#41	—	2	8	no	—
168	#41	—	2	8	no	—
169	#41	—	2	8	no	—
170	#41	—	2	8	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	#127	1	4	yes	—
179	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
203	M₁₆	—	2	8	no	—
204	M₁₆	—	2	8	no	—
205	M₁₆	—	2	32	no	—
206	C₂×C₈	—	2	4	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	16	no	—
209	C₂×C₈	—	2	16	no	—
210	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
219	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
220	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
221	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
225	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	4	16	no	—
235	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₄²	#117	1	2	yes	—
239	C₄²	#117	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	#384	1	4	yes	—
247	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	#532	1	2	yes	—
252	Q₈	—	2	8	no	—
253	D₄	—	2	8	no	—
254	D₄	—	2	8	no	—
255	D₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	8	16	no	—
269	C₂×C₄	—	8	8	no	—
270	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
285	C₈	—	2	8	no	—
286	C₈	#380	1	4	yes	—
287	C₈	#380	1	4	yes	—
288	C₈	#380	1	8	yes	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	4	1	no	—
293	C₂²	—	4	1	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	4	no	—
298	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#2856	1	2	yes	—
302	C₂²	#2857	1	2	yes	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	16	8	no	—
308	C₄	#1812	1	4	yes	complemented
309	C₄	C₂×#380	1	2	yes	—
310	C₄	#2285	1	2	yes	—
311	C₄	#2857	1	4	yes	—
312	C₂	—	2	2	no	—
313	C₂	—	2	1	no	—
314	C₂	—	2	1	no	—
315	C₂	—	2	2	no	—
316	C₂	—	4	4	no	—
317	C₂	#14686	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#1812	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20797	C₂	semidirect
5. #10866	C₂	semidirect
6. #10837	C₂	semidirect
14. C₂×#405	C₄	semidirect
16. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
18. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
102. C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
108. C₂²×C₈	C₄⋊C₄	semidirect
308. C₄	#1812	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
#20797	2
C₂×#1812	2
#20632	2
#10866	2
#10837	2