Subgroups — #392466

Order 512.

1464 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1813	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20637	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10867	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄⋊#338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#108	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
12	C₄×#131	—	2	4	no	—
13	C₄×#131	—	2	4	no	—
14	C₂×#405	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1848	—	2	4	no	—
21	#1848	—	2	4	no	—
22	#1813	—	2	16	no	—
23	#1801	—	2	4	no	—
24	#1800	—	2	4	no	—
25	#1742	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#338	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#131	—	2	8	no	—
29	C₂×#131	—	2	8	no	—
30	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
31	C₂×#131	Q₈	1	8	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₄×#41	—	2	2	no	—
38	C₄×#41	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#108	—	2	16	no	—
48	C₂×#108	—	2	16	no	—
49	C₂×#108	—	2	16	no	—
50	#423	—	2	8	no	—
51	#423	—	2	4	no	—
52	#423	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
54	#413	—	2	16	no	—
55	C₂×#101	—	2	4	no	—
56	C₂×#100	—	2	4	no	—
57	#405	—	2	8	no	—
58	#405	—	2	16	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
74	#343	—	2	8	no	—
75	#338	—	2	16	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	—	2	4	no	—
79	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
81	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	#131	—	2	32	no	—
89	#131	—	2	32	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
98	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
99	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	4	no	—
118	#117	—	2	2	no	—
119	#117	—	2	2	no	—
120	#117	—	2	4	no	—
121	#117	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
137	#108	—	4	32	no	—
138	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
139	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
140	#101	—	4	8	no	—
141	#100	—	4	8	no	—
142	#97	—	2	8	no	—
143	#97	—	2	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	8	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	#41	—	2	8	no	—
155	#41	—	2	8	no	—
156	#41	—	2	8	no	—
157	#41	—	2	8	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
161	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	2	no	—
166	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
167	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
168	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
190	M₁₆	—	2	8	no	—
191	M₁₆	—	2	8	no	—
192	M₁₆	—	2	32	no	—
193	M₁₆	—	4	16	no	—
194	M₁₆	—	4	8	no	—
195	M₁₆	—	4	8	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	32	no	—
199	C₂×C₈	—	4	8	no	—
200	C₂×C₈	—	4	16	no	—
201	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
207	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
208	C₂×C₈	#121	1	16	yes	—
209	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₄²	#117	1	2	yes	—
222	C₄²	#117	1	2	yes	—
223	C₄²	#121	1	4	yes	—
224	C₄²	#121	1	4	yes	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	4	no	—
229	C₂³	#384	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂³	#533	1	2	yes	—
234	Q₈	—	2	4	no	—
235	Q₈	—	2	4	no	—
236	D₄	—	2	16	no	—
237	D₄	—	2	4	no	—
238	D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
267	C₈	—	2	8	no	—
268	C₈	—	8	8	no	—
269	C₈	#380	1	8	yes	—
270	C₈	#380	1	8	yes	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#2857	1	4	yes	—
283	C₄	—	2	4	no	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	#1813	1	4	yes	complemented
288	C₄	C₂×#380	1	2	yes	—
289	C₄	#2285	1	2	yes	—
290	C₄	#2856	1	2	yes	—
291	C₄	#2857	1	2	yes	—
292	C₂	—	2	1	no	—
293	C₂	—	2	1	no	—
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	4	4	no	—
296	C₂	#14686	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#1813	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1848	C₂	semidirect
5. #10867	C₂	semidirect
6. C₄⋊#338	C₂	semidirect
287. C₄	#1813	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₂×#1848	2
C₂×#1813	2
#20637	2
#10867	2
C₄⋊#338	2