Subgroups — #392471

Order 512.

1542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1816	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20648	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
14	C₄×#131	—	2	4	no	—
15	C₄×#131	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#405	—	2	2	no	—
17	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	#1848	—	2	4	no	—
24	#1845	—	2	1	no	—
25	#1845	—	2	1	no	—
26	#1845	—	2	2	no	—
27	#1816	—	2	16	no	—
28	#1803	—	2	4	no	—
29	#1802	—	2	4	no	—
30	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#131	—	2	4	no	—
34	C₂×#131	—	2	4	no	—
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
38	C₂×#131	Q₈	1	8	yes	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₄×#41	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	—	2	2	no	—
46	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×#117	—	2	1	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#108	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	8	no	—
59	C₂×#108	—	2	8	no	—
60	C₂×#107	—	2	8	no	—
61	C₂×#107	—	2	4	no	—
62	C₂×#107	—	2	4	no	—
63	C₂×#107	—	2	8	no	—
64	#423	—	2	4	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
67	#417	—	2	16	no	—
68	C₂×#103	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	#405	—	2	4	no	—
71	#405	—	2	16	no	—
72	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
75	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×#97	—	2	2	no	—
77	C₂×#97	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
86	#384	—	2	4	no	—
87	#384	—	2	2	no	—
88	#384	—	2	2	no	—
89	#343	—	2	16	no	—
90	#340	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	2	1	no	—
92	C₂×#41	—	2	1	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#131	—	2	16	no	—
108	#131	—	2	16	no	—
109	#131	—	2	16	no	—
110	#131	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₄×D₄	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	8	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
143	#117	—	2	1	no	—
144	#117	—	2	1	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	#108	—	4	16	no	—
172	#107	—	4	8	no	—
173	#107	—	4	8	no	—
174	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
175	#103	—	4	8	no	—
176	#102	—	4	8	no	—
177	#97	—	2	8	no	—
178	#97	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	2	8	no	—
180	C₄×C₈	—	2	4	no	—
181	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂⁴	—	2	1	no	—
185	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	4	no	—
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	#41	—	2	4	no	—
192	#41	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
193	#41	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
194	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
197	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
199	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	1	no	—
205	C₂×D₄	—	2	1	no	—
206	C₂×D₄	—	2	1	no	—
207	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
209	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	2	4	no	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	2	32	no	—
242	M₁₆	—	4	8	no	—
243	M₁₆	—	4	8	no	—
244	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	32	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
255	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
256	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
269	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	8	no	—
276	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
279	C₄²	#121	1	4	yes	—
280	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#532	1	2	yes	—
293	C₂³	#533	1	2	yes	—
294	Q₈	—	2	2	no	—
295	Q₈	—	2	2	no	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	#384	1	4	yes	—
298	D₄	—	2	8	no	—
299	D₄	—	2	8	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	2	2	no	—
302	D₄	—	2	2	no	—
303	D₄	#384	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	16	8	no	—
320	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#473	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
342	C₈	—	2	8	no	—
343	C₈	—	8	4	no	—
344	C₈	#380	1	8	yes	—
345	C₈	#380	1	8	yes	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2285	1	2	yes	—
358	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2857	1	2	yes	—
360	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#473	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	16	4	no	—
367	C₄	#1816	1	8	yes	complemented
368	C₄	C₂×#380	1	2	yes	—
369	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2857	1	2	yes	—
373	C₄	#2857	1	1	yes	characteristic
374	C₂	—	2	2	no	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	4	4	no	—
377	C₂	#14686	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#1816	1	2	yes	—
379	C₂	#33190	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#33191	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#33222	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1848	C₂	semidirect
3. C₂×#1845	C₂	semidirect
6. #10870	C₂	semidirect
7. #10857	C₂	semidirect
15. C₄×#131	C₄	semidirect
110. #131	C₄⋊C₄	semidirect
367. C₄	#1816	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₂×#1848	2
C₂×#1845	2
C₂×#1816	2
#20648	2
#10870	2
#10857	2