Subgroups — #392665

Order 512.

3725 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 407 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3573	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3025	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1891	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#20899	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10764	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#10748	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#3573	—	2	4	no	—
10	#3573	—	2	12	no	—
11	C₂×#568	—	2	6	no	—
12	C₂×#568	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×#131	—	2	6	no	—
14	C₂²×#131	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#525	C₂²	1	3	yes	—
16	#3025	—	2	4	no	—
17	#3025	—	2	4	no	—
18	C₂×#458	C₄	1	4	yes	—
19	C₂×B(4,𝔽₂)	C₄	1	4	yes	—
20	C₂×#413	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#407	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	#1891	—	2	12	no	—
26	#1870	—	2	6	no	—
27	#1869	—	2	6	no	—
28	#1791	—	2	4	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#1729	C₂²	1	3	yes	complemented
31	#1729	C₂²	1	3	yes	complemented
32	#585	—	2	6	no	—
33	#585	—	2	6	no	—
34	#585	D₄	1	4	yes	—
35	#585	D₄	1	4	yes	—
36	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
37	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
38	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	6	no	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#568	—	2	48	no	—
43	#568	—	2	48	no	—
44	#568	—	2	6	no	—
45	#568	—	2	12	no	—
46	#568	D₄	1	12	yes	complemented
47	C₂×#131	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	—	2	12	no	—
49	C₂×#131	—	2	48	no	—
50	C₂×#131	—	2	48	no	—
51	C₂×#131	—	2	6	no	—
52	C₂×#131	—	2	6	no	—
53	C₂×#131	—	2	12	no	—
54	C₂×#131	—	2	6	no	—
55	C₂×#131	—	2	12	no	—
56	C₂×#131	—	2	6	no	—
57	C₂²×M₁₆	—	2	12	no	—
58	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
59	C₂²×M₁₆	D₄	1	6	yes	complemented
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
63	C₂³×C₈	D₄	1	6	yes	complemented
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#525	—	2	6	no	—
67	#525	—	2	6	no	—
68	#525	—	2	6	no	—
69	#525	—	2	6	no	—
70	C₂×#123	C₂×C₄	1	6	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
72	C₂×#121	—	2	3	no	—
73	C₂×#120	C₂×C₄	1	6	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
75	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
76	#458	—	2	16	no	—
77	B(4,𝔽₂)	—	2	16	no	—
78	#413	—	2	6	no	—
79	#413	—	2	6	no	—
80	C₂×#101	—	2	3	no	—
81	C₂×#100	—	2	3	no	—
82	#410	—	2	6	no	—
83	#410	—	2	6	no	—
84	C₂×#99	C₂×C₄	1	12	yes	—
85	#408	—	2	6	no	—
86	#408	—	2	6	no	—
87	#407	—	2	12	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
92	#344	—	2	12	no	—
93	#336	—	2	3	no	—
94	#336	—	2	6	no	—
95	#336	—	2	3	no	—
96	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
98	2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
100	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
101	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
102	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
103	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
104	H(5,𝔽₂)	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	24	no	—
107	C₂×#41	—	2	12	no	—
108	C₂×#41	—	2	24	no	—
109	C₂×#41	—	2	12	no	—
110	C₂×#41	—	2	24	no	—
111	C₂×#41	—	2	24	no	—
112	C₂×#41	—	2	6	no	—
113	C₂×#41	—	2	6	no	—
114	C₂×#41	—	2	6	no	—
115	C₂×#41	—	2	6	no	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
117	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
118	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
119	C₂×#41	#41	1	6	yes	—
120	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
121	C₂²×Q₈	#41	1	3	yes	—
122	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
126	C₂²×D₄	#41	1	3	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	#131	—	2	32	no	—
138	#131	—	2	24	no	—
139	#131	—	2	24	no	—
140	#131	—	2	96	no	—
141	#131	—	2	48	no	—
142	#131	—	2	24	no	—
143	#131	—	2	24	no	—
144	#131	—	2	48	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	96	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
159	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
160	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
175	#123	—	2	12	no	—
176	#123	—	2	12	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
179	#121	—	4	6	no	—
180	#121	—	4	6	no	—
181	#120	—	2	12	no	—
182	#120	—	2	12	no	—
183	C₄×D₄	—	4	12	no	—
184	C₄×D₄	—	4	12	no	—
185	#117	—	2	3	no	—
186	#117	—	2	3	no	—
187	#117	—	2	3	no	—
188	#117	—	2	3	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
194	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
195	#101	—	4	6	no	—
196	#100	—	4	6	no	—
197	#99	—	2	24	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	12	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	3	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	12	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	2	3	no	—
204	C₂⁴	—	2	1	no	—
205	C₂⁴	—	2	3	no	—
206	C₂⁴	—	4	2	no	—
207	C₂⁴	—	8	1	no	—
208	C₂⁴	C₄×D₄	1	6	yes	—
209	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	2	16	no	—
211	#41	—	2	16	no	—
212	#41	—	2	48	no	—
213	#41	—	2	48	no	—
214	#41	—	2	48	no	—
215	#41	—	2	12	no	—
216	#41	—	2	12	no	—
217	#41	—	2	12	no	—
218	#41	—	2	12	no	—
219	#41	—	2	12	no	—
220	#41	—	2	12	no	—
221	#41	—	2	12	no	—
222	#41	—	2	12	no	—
223	#41	—	2	48	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
229	C₂×Q₈	#121	1	6	yes	—
230	C₂×Q₈	#123	1	6	yes	—
231	C₂×D₄	—	2	12	no	—
232	C₂×D₄	—	2	48	no	—
233	C₂×D₄	—	2	24	no	—
234	C₂×D₄	—	2	24	no	—
235	C₂×D₄	—	2	12	no	—
236	C₂×D₄	—	2	12	no	—
237	C₂×D₄	—	2	48	no	—
238	C₂×D₄	—	2	6	no	—
239	C₂×D₄	—	2	6	no	—
240	C₂×D₄	—	4	12	no	—
241	C₂×D₄	—	4	12	no	—
242	C₂×D₄	—	8	6	no	—
243	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
244	C₂×D₄	C₄×D₄	1	12	yes	—
245	C₂×D₄	#121	1	6	yes	—
246	C₂×D₄	#123	1	6	yes	—
247	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
267	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	6	yes	—
268	C₂²×C₄	#120	1	12	yes	—
269	C₂²×C₄	#121	1	12	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
276	M₁₆	—	2	48	no	—
277	M₁₆	—	2	48	no	—
278	M₁₆	—	2	12	no	—
279	M₁₆	—	2	12	no	—
280	M₁₆	—	4	6	no	—
281	M₁₆	—	4	6	no	—
282	C₂×C₈	—	2	24	no	—
283	C₂×C₈	—	2	48	no	—
284	C₂×C₈	—	2	24	no	—
285	C₂×C₈	—	2	3	no	—
286	C₂×C₈	—	2	3	no	—
287	C₂×C₈	—	2	3	no	—
288	C₂×C₈	—	2	6	no	—
289	C₂×C₈	—	2	3	no	—
290	C₂×C₈	—	2	6	no	—
291	C₂×C₈	—	4	3	no	—
292	C₂×C₈	—	4	1	no	—
293	C₂×C₈	—	4	3	no	—
294	C₂×C₈	—	4	3	no	—
295	C₂×C₈	—	4	3	no	—
296	C₂×C₈	—	4	3	no	—
297	C₂×C₈	#120	1	12	yes	—
298	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	#120	1	3	yes	—
300	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
307	C₄²	—	4	3	no	—
308	C₄²	—	4	3	no	—
309	C₂³	—	2	16	no	—
310	C₂³	—	2	6	no	—
311	C₂³	—	2	6	no	—
312	C₂³	—	2	6	no	—
313	C₂³	—	4	1	no	—
314	C₂³	—	4	1	no	—
315	C₂³	—	4	6	no	—
316	C₂³	—	4	6	no	—
317	C₂³	—	4	3	no	—
318	C₂³	—	4	3	no	—
319	C₂³	—	4	3	no	—
320	C₂³	—	4	3	no	—
321	C₂³	—	4	3	no	—
322	C₂³	—	4	1	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	6	no	—
325	C₂³	—	8	4	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	#386	1	12	yes	—
328	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
330	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
331	Q₈	—	2	16	no	—
332	Q₈	—	2	12	no	—
333	Q₈	—	2	12	no	—
334	D₄	—	2	48	no	—
335	D₄	—	2	24	no	—
336	D₄	—	2	24	no	—
337	D₄	—	2	12	no	—
338	D₄	—	2	12	no	—
339	D₄	—	8	24	no	—
340	C₂×C₄	—	2	48	no	—
341	C₂×C₄	—	2	6	no	—
342	C₂×C₄	—	2	6	no	—
343	C₂×C₄	—	2	12	no	—
344	C₂×C₄	—	2	12	no	—
345	C₂×C₄	—	2	12	no	—
346	C₂×C₄	—	2	12	no	—
347	C₂×C₄	—	4	6	no	—
348	C₂×C₄	—	4	6	no	—
349	C₂×C₄	—	4	6	no	—
350	C₂×C₄	—	4	3	no	—
351	C₂×C₄	—	4	3	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	8	1	no	—
354	C₂×C₄	—	8	1	no	—
355	C₂×C₄	—	8	3	no	—
356	C₂×C₄	—	8	3	no	—
357	C₂×C₄	#386	1	12	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#123	1	3	yes	—
364	C₂×C₄	#525	1	3	yes	—
365	C₂×C₄	#525	1	3	yes	—
366	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
367	C₈	—	2	1	no	—
368	C₈	—	2	12	no	—
369	C₈	—	2	3	no	—
370	C₈	—	8	1	no	—
371	C₈	—	8	3	no	—
372	C₂²	—	2	3	no	—
373	C₂²	—	2	3	no	—
374	C₂²	—	2	12	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	4	3	no	—
377	C₂²	—	4	12	no	—
378	C₂²	—	4	6	no	—
379	C₂²	—	4	6	no	—
380	C₂²	—	4	6	no	—
381	C₂²	—	4	6	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	8	6	no	—
384	C₂²	—	8	3	no	—
385	C₂²	—	8	3	no	—
386	C₂²	—	8	16	no	—
387	C₂²	—	8	1	no	—
388	C₂²	—	8	1	no	—
389	C₂²	C₂×#386	1	3	yes	—
390	C₂²	C₄×#120	1	3	yes	—
391	C₂²	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	12	no	—
393	C₄	—	8	6	no	—
394	C₄	—	8	1	no	—
395	C₄	#2846	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#2847	1	3	yes	—
398	C₄	#2849	1	3	yes	—
399	C₂	—	2	3	no	—
400	C₂	—	2	3	no	—
401	C₂	—	4	12	no	—
402	C₂	—	8	2	no	—
403	C₂	#14694	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#21483	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#21484	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#120
prime radical	C₂×#3025	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3573	C₂	semidirect
3. C₂×#1891	C₂	semidirect
4. #20899	C₂	semidirect
5. C₂×#1791	C₂	semidirect
6. #10764	C₂	semidirect
7. #10748	C₂	semidirect
23. C₂×#407	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
29. C₂×#344	C₂²	semidirect
30. #1729	C₂²	semidirect
31. #1729	C₂²	semidirect
46. #568	D₄	semidirect
59. C₂²×M₁₆	D₄	semidirect
63. C₂³×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3573	2
C₂×#3025	2
C₂×#1891	2
#20899	2
C₂×#1791	2
#10764	2
#10748	2