Subgroups — #392697

Order 512.

3753 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 454 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#35242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1912	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20979	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1784	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10741	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10716	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	—	2	2	no	—
12	C₂×#519	—	2	16	no	—
13	C₂×#519	—	2	4	no	—
14	C₂×#519	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂²×#117	—	2	2	no	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
21	#2849	—	2	2	no	—
22	#2614	—	2	2	no	—
23	#2436	C₄	1	4	yes	complemented
24	#2434	C₄	1	4	yes	complemented
25	#2409	—	2	4	no	—
26	#2310	C₂²	1	2	yes	—
27	#2280	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1912	—	2	16	no	—
29	#1897	—	2	4	no	—
30	#1896	—	2	4	no	—
31	#1784	—	2	4	no	—
32	#1733	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
37	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×Q₈	D₄	1	4	yes	—
42	C₂³×Q₈	D₄	1	2	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	#536	—	2	8	no	—
48	#536	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
51	#525	—	2	2	no	—
52	#525	—	2	2	no	—
53	#525	—	2	4	no	—
54	C₂×#123	—	2	4	no	—
55	C₂×#123	—	2	1	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#120	—	2	1	no	—
60	#519	—	2	64	no	—
61	#519	—	2	32	no	—
62	#519	—	2	8	no	—
63	#519	—	2	16	no	—
64	#519	D₄	1	16	yes	complemented
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	64	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	—	2	32	no	—
70	C₂×#117	—	2	8	no	—
71	C₂×#117	—	2	8	no	—
72	C₂×#117	—	2	2	no	—
73	C₂×#117	—	2	2	no	—
74	C₂×#117	—	2	16	no	—
75	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
84	#421	—	2	16	no	—
85	C₂×#104	—	2	8	no	—
86	C₂×#101	—	2	8	no	—
87	C₂×#101	—	2	8	no	—
88	C₂×#101	—	2	8	no	—
89	#407	—	2	2	no	—
90	#407	—	2	2	no	—
91	#407	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
93	#395	—	2	8	no	—
94	#393	—	2	8	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	#386	—	2	8	no	—
98	#385	—	2	8	no	—
99	#381	—	2	4	no	—
100	#381	—	2	1	no	—
101	#380	—	2	2	no	—
102	#379	—	2	1	no	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	#339	—	2	8	no	—
105	H(3,ℤ/4)	—	2	16	no	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
163	#124	—	2	16	no	—
164	#123	—	4	2	no	—
165	#123	—	4	8	no	—
166	#123	—	4	2	no	—
167	#123	—	4	8	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
171	#121	—	2	4	no	—
172	#121	—	2	4	no	—
173	#120	—	4	1	no	—
174	#120	—	4	1	no	—
175	#120	—	4	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
179	C₄×D₄	—	4	4	no	—
180	C₄×D₄	—	4	4	no	—
181	#117	—	2	64	no	—
182	#117	—	2	16	no	—
183	#117	—	2	32	no	—
184	#117	—	2	16	no	—
185	#117	—	2	32	no	—
186	#117	—	2	8	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	16	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	C₂×D₄	1	16	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	#104	—	4	16	no	—
219	#101	—	4	16	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	16	no	—
224	C₂⁴	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	—	2	2	no	—
226	C₂⁴	—	2	1	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
230	C₂⁴	#120	1	1	yes	characteristic
231	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
232	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	#41	—	4	4	no	—
234	#41	—	4	8	no	—
235	#41	—	4	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
256	C₂×Q₈	#121	1	16	yes	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	8	no	—
260	C₂×D₄	—	4	1	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	1	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
301	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
302	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
304	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
310	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
311	M₁₆	—	4	4	no	—
312	M₁₆	—	4	8	no	—
313	M₁₆	—	4	4	no	—
314	C₂×C₈	—	4	4	no	—
315	C₂×C₈	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
334	C₄²	—	2	64	no	—
335	C₄²	—	2	16	no	—
336	C₄²	—	2	8	no	—
337	C₄²	—	2	8	no	—
338	C₄²	—	4	2	no	—
339	C₄²	#120	1	16	yes	—
340	C₂³	—	2	1	no	—
341	C₂³	—	2	1	no	—
342	C₂³	—	2	4	no	—
343	C₂³	—	2	1	no	—
344	C₂³	—	2	1	no	—
345	C₂³	—	2	4	no	—
346	C₂³	—	2	4	no	—
347	C₂³	—	2	4	no	—
348	C₂³	—	2	4	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	2	no	—
351	C₂³	—	4	2	no	—
352	C₂³	—	4	2	no	—
353	C₂³	—	4	8	no	—
354	C₂³	—	4	8	no	—
355	C₂³	—	4	4	no	—
356	C₂³	—	4	2	no	—
357	C₂³	—	4	1	no	—
358	C₂³	#386	1	2	yes	—
359	C₂³	#386	1	2	yes	—
360	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
363	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
365	Q₈	—	2	64	no	—
366	Q₈	—	2	32	no	—
367	Q₈	—	2	32	no	—
368	Q₈	—	4	4	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	8	4	no	—
371	D₄	—	8	1	no	—
372	D₄	—	8	1	no	—
373	D₄	—	8	2	no	—
374	D₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	32	no	—
376	C₂×C₄	—	2	32	no	—
377	C₂×C₄	—	2	8	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	8	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	2	8	no	—
382	C₂×C₄	—	2	8	no	—
383	C₂×C₄	—	2	4	no	—
384	C₂×C₄	—	2	4	no	—
385	C₂×C₄	—	2	8	no	—
386	C₂×C₄	—	2	8	no	—
387	C₂×C₄	—	2	8	no	—
388	C₂×C₄	—	2	8	no	—
389	C₂×C₄	—	2	8	no	—
390	C₂×C₄	—	2	8	no	—
391	C₂×C₄	—	2	16	no	—
392	C₂×C₄	—	4	32	no	—
393	C₂×C₄	—	4	16	no	—
394	C₂×C₄	—	4	8	no	—
395	C₂×C₄	—	4	4	no	—
396	C₂×C₄	—	4	4	no	—
397	C₂×C₄	—	4	2	no	—
398	C₂×C₄	—	4	2	no	—
399	C₂×C₄	—	4	1	no	—
400	C₂×C₄	—	8	4	no	—
401	C₂×C₄	#386	1	16	yes	—
402	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
403	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
404	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
406	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
407	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
409	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
410	C₈	—	8	4	no	—
411	C₂²	—	2	4	no	—
412	C₂²	—	2	4	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	2	no	—
415	C₂²	—	2	2	no	—
416	C₂²	—	2	2	no	—
417	C₂²	—	2	2	no	—
418	C₂²	—	2	2	no	—
419	C₂²	—	2	2	no	—
420	C₂²	—	2	2	no	—
421	C₂²	—	4	2	no	—
422	C₂²	—	4	2	no	—
423	C₂²	—	4	8	no	—
424	C₂²	—	4	8	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	2	no	—
427	C₂²	—	8	4	no	—
428	C₂²	—	8	2	no	—
429	C₂²	—	8	1	no	—
430	C₂²	#1912	1	4	yes	complemented
431	C₂²	C₂×#386	1	2	yes	—
432	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
433	C₂²	#2846	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#2849	1	1	yes	characteristic
435	C₂²	#2849	1	2	yes	—
436	C₄	—	2	16	no	—
437	C₄	—	2	4	no	—
438	C₄	—	4	16	no	—
439	C₄	—	8	4	no	—
440	C₄	—	8	2	no	—
441	C₄	—	8	1	no	—
442	C₄	C₄×#120	1	4	yes	—
443	C₄	#2847	1	4	yes	—
444	C₂	—	2	1	no	—
445	C₂	—	2	2	no	—
446	C₂	—	2	1	no	—
447	C₂	—	2	4	no	—
448	C₂	—	2	2	no	—
449	C₂	—	4	2	no	—
450	C₂	—	16	1	no	—
451	C₂	#14694	1	1	yes	characteristic
452	C₂	C₂×#1912	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#525	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#519	C₂	semidirect
3. C₂×#1912	C₂	semidirect
5. C₂×#1784	C₂	semidirect
6. #10741	C₂	semidirect
7. #10716	C₂	semidirect
23. #2436	C₄	semidirect
24. #2434	C₄	semidirect
49. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
50. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
64. #519	D₄	semidirect
96. #391	C₂×C₄	semidirect
430. C₂²	#1912	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#519	2
#35242	2
C₂×#1912	2
#20979	2
C₂×#1784	2
#10741	2
#10716	2