Subgroups — #392898

Order 512.

1368 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20858	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10904	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10872	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10755	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
17	#2875	—	2	4	no	—
18	C₄×#131	—	2	4	no	—
19	#2873	—	2	2	no	—
20	#2873	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	—	2	2	no	—
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	#2311	C₂²	1	2	yes	—
24	#1952	—	2	4	no	—
25	#1952	—	2	4	no	—
26	#1857	—	2	4	no	—
27	#1856	—	2	4	no	—
28	#1813	C₄	1	8	yes	complemented
29	#1809	—	2	2	no	—
30	#1808	—	2	2	no	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	#1736	C₂²	1	2	yes	—
34	#1733	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#568	—	2	2	no	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	2	no	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#520	—	2	2	no	—
54	#520	—	2	2	no	—
55	#519	D₄	1	2	yes	—
56	#518	—	2	2	no	—
57	#518	D₄	1	2	yes	—
58	C₄×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#117	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#108	—	2	2	no	—
64	C₂×#108	—	2	2	no	—
65	C₂×#108	—	2	4	no	—
66	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	#428	—	2	8	no	—
68	#428	—	2	8	no	—
69	#427	—	2	4	no	—
70	C₂×#107	—	2	1	no	—
71	C₂×#107	—	2	1	no	—
72	C₂×#107	—	2	1	no	—
73	C₂×#107	—	2	2	no	—
74	C₂×#107	—	2	2	no	—
75	C₂×#107	—	2	4	no	—
76	C₂×#106	—	2	1	no	—
77	C₂×#106	—	2	4	no	—
78	#413	—	2	4	no	—
79	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₂×#101	—	2	2	no	—
81	C₂×#100	—	2	2	no	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	#405	—	2	4	no	—
84	#405	—	2	8	no	—
85	#405	—	2	2	no	—
86	#405	—	2	4	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	#405	—	2	4	no	—
89	#405	D₄	1	4	yes	—
90	#405	D₄	1	4	yes	—
91	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×#97	—	2	4	no	—
94	C₂×#97	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	#391	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#386	—	2	4	no	—
100	#380	—	2	4	no	—
101	#344	—	2	8	no	—
102	#343	—	2	8	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#339	—	2	8	no	—
105	#338	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
114	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#131	—	2	16	no	—
121	#131	—	2	16	no	—
122	#131	—	2	8	no	—
123	#131	—	2	8	no	—
124	#131	—	2	8	no	—
125	#131	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
163	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	8	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	#108	—	2	8	no	—
195	#108	—	2	8	no	—
196	#107	—	4	1	no	—
197	#107	—	4	2	no	—
198	#107	—	4	1	no	—
199	#107	—	4	2	no	—
200	#107	—	4	8	no	—
201	#106	—	4	2	no	—
202	#106	—	4	8	no	—
203	#101	—	2	8	no	—
204	#100	—	2	8	no	—
205	#97	—	2	8	no	—
206	#97	—	2	4	no	—
207	#97	—	2	4	no	—
208	C₄×C₈	—	2	8	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	#95	—	4	4	no	—
212	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
233	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	M₁₆	—	2	16	no	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	16	no	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	2	8	no	—
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
271	C₂×C₈	—	2	16	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	—	2	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	#121	1	4	yes	—
304	C₄⋊C₄	#121	1	4	yes	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
310	C₄²	—	2	8	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	4	1	no	—
317	C₂³	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	#389	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	#525	1	2	yes	—
324	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#529	1	2	yes	—
326	Q₈	—	2	4	no	—
327	Q₈	—	2	4	no	—
328	D₄	—	2	8	no	—
329	D₄	—	2	8	no	—
330	D₄	—	2	4	no	—
331	D₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	16	4	no	—
350	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
369	C₈	—	2	8	no	—
370	C₈	—	2	4	no	—
371	C₈	—	4	8	no	—
372	C₈	#385	1	2	yes	—
373	C₈	#385	1	2	yes	—
374	C₈	#385	1	4	yes	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	4	1	no	—
381	C₂²	—	4	1	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
389	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2851	1	2	yes	—
391	C₂²	#2854	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	16	2	no	—
396	C₄	—	16	2	no	—
397	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
399	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
400	C₄	#2848	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2855	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2857	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	4	4	no	—
408	C₂	#14697	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#32951	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#32952	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2847
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1952	C₂	semidirect
6. #10904	C₂	semidirect
7. #10872	C₂	semidirect
28. #1813	C₄	semidirect
66. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
105. #338	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60058	2
C₂×#1952	2
#20858	2
C₂×#1813	2
#20663	2
#10904	2
#10872	2
#10755	2