Subgroups — #392905

Order 512.

1351 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21163	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20892	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10890	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10743	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	#2905	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
17	#2879	C₂²	1	2	yes	—
18	#2875	—	2	4	no	—
19	C₄×#131	—	2	4	no	—
20	#2873	—	2	2	no	—
21	#2873	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	—	2	2	no	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	#1946	—	2	4	no	—
25	#1945	—	2	4	no	—
26	#1868	—	2	8	no	—
27	#1812	C₄	1	4	yes	complemented
28	#1812	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1811	—	2	2	no	—
30	#1810	—	2	2	no	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	#1738	C₂²	1	2	yes	—
33	#1733	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#568	—	2	2	no	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	D₄	1	4	yes	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	C₂×#131	—	2	2	no	—
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#131	Q₈	1	2	yes	—
48	C₂×#131	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#520	—	2	4	no	—
58	#519	Q₈	1	2	yes	—
59	#518	—	2	2	no	—
60	#518	Q₈	1	2	yes	—
61	C₄×#41	—	2	4	no	—
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#108	—	2	1	no	—
66	C₂×#108	—	2	1	no	—
67	C₂×#108	—	2	1	no	—
68	C₂×#108	—	2	1	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	C₂×#108	—	2	2	no	—
72	C₂×#108	—	2	2	no	—
73	#427	—	2	2	no	—
74	#427	—	2	2	no	—
75	#427	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	#427	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×#107	—	2	2	no	—
78	C₂×#106	—	2	2	no	—
79	#424	—	2	8	no	—
80	#424	—	2	8	no	—
81	#423	—	2	8	no	—
82	#410	—	2	4	no	—
83	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×#99	—	2	4	no	—
85	#408	—	2	4	no	—
86	#408	—	2	4	no	—
87	#407	—	2	4	no	—
88	#405	—	2	4	no	—
89	#405	—	2	4	no	—
90	#405	—	2	8	no	—
91	#405	—	2	2	no	—
92	#405	—	2	4	no	—
93	#405	—	2	2	no	—
94	#405	—	2	2	no	—
95	#405	—	2	2	no	—
96	#405	—	2	4	no	—
97	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×#97	—	2	4	no	—
100	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
103	#344	—	2	8	no	—
104	#341	—	2	4	no	—
105	#339	—	2	8	no	—
106	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
107	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#131	—	2	16	no	—
122	#131	—	2	4	no	—
123	#131	—	2	4	no	—
124	#131	—	2	4	no	—
125	#131	—	2	4	no	—
126	#131	—	2	16	no	—
127	#131	—	2	4	no	—
128	#131	—	2	4	no	—
129	#131	—	2	4	no	—
130	#131	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
176	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
177	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₄×D₄	—	2	16	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	#117	—	2	4	no	—
181	#117	—	2	4	no	—
182	#117	—	2	4	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
190	#117	#41	1	4	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	#108	—	4	1	no	—
201	#108	—	4	2	no	—
202	#108	—	4	1	no	—
203	#108	—	4	1	no	—
204	#108	—	4	1	no	—
205	#108	—	4	2	no	—
206	#107	—	2	4	no	—
207	#107	—	2	4	no	—
208	#106	—	2	4	no	—
209	#106	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
211	#99	—	2	16	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
213	#97	—	2	8	no	—
214	#97	—	2	4	no	—
215	#97	—	2	4	no	—
216	C₄×C₈	—	2	8	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
220	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	2	4	no	—
226	#41	—	2	4	no	—
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
232	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
240	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	M₁₆	—	2	16	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	2	8	no	—
269	M₁₆	—	2	8	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	16	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
302	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	2	8	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	8	no	—
322	C₄²	—	4	4	no	—
323	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	8	1	no	—
327	C₂³	—	8	2	no	—
328	C₂³	#389	1	4	yes	—
329	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	#525	1	2	yes	—
332	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#529	1	2	yes	—
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	D₄	—	2	8	no	—
337	D₄	—	2	8	no	—
338	D₄	—	2	4	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	8	no	—
350	C₂×C₄	—	16	4	no	—
351	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
370	C₈	—	2	8	no	—
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	8	2	no	—
373	C₈	—	8	2	no	—
374	C₈	#385	1	1	yes	characteristic
375	C₈	#385	1	1	yes	characteristic
376	C₈	#385	1	1	yes	characteristic
377	C₈	#385	1	1	yes	characteristic
378	C₈	#385	1	2	yes	—
379	C₈	#385	1	2	yes	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
391	C₂²	#2848	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2851	1	2	yes	—
393	C₂²	#2855	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	4	8	no	—
396	C₄	—	8	8	no	—
397	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
399	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
400	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2854	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2857	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	2	no	—
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	2	no	—
408	C₂	—	4	4	no	—
409	C₂	#14697	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2847
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#14697
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21163	C₂	semidirect
6. #10890	C₂	semidirect
7. #10868	C₂	semidirect
27. #1812	C₄	semidirect
28. #1812	C₄	semidirect
75. #427	C₂×C₄	semidirect
76. #427	C₂×C₄	semidirect
107. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60058	2
#21163	2
#20892	2
C₂×#1812	2
#20668	2
#10890	2
#10868	2
#10743	2