Subgroups — #393168

Order 512.

1224 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21257	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1980	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1929	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10934	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10852	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1983	C₄	1	4	yes	complemented
25	#1982	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1981	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1980	—	2	4	no	—
28	#1955	—	2	2	no	—
29	#1955	—	2	1	no	—
30	#1955	—	2	1	no	—
31	#1950	—	2	4	no	—
32	#1929	—	2	16	no	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
36	#1726	—	2	1	no	—
37	#1726	—	2	1	no	—
38	C₄×#97	—	2	2	no	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	2	no	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#121	—	2	1	no	—
53	C₂×#121	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#108	—	2	8	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#104	—	2	8	no	—
71	C₂×#104	—	2	4	no	—
72	C₂×#104	—	2	4	no	—
73	C₂×#104	—	2	8	no	—
74	#416	—	2	8	no	—
75	#416	—	2	8	no	—
76	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#408	—	2	8	no	—
79	#408	—	2	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	4	no	—
83	#405	—	2	4	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	D₄	1	8	yes	complemented
86	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
105	#376	—	2	1	no	—
106	C₂×#95	—	2	1	no	—
107	C₄³	—	2	1	no	—
108	#341	—	2	4	no	—
109	#339	—	2	8	no	—
110	#336	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	4	no	—
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#124	—	2	4	no	—
162	#124	—	2	4	no	—
163	#121	—	4	2	no	—
164	#121	—	4	2	no	—
165	#121	—	4	2	no	—
166	#121	—	4	2	no	—
167	C₄×D₄	—	4	2	no	—
168	C₄×D₄	—	4	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	2	no	—
170	C₄×D₄	—	4	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#117	#41	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
198	#108	—	4	8	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
203	#104	—	4	8	no	—
204	#104	—	4	8	no	—
205	#103	—	2	16	no	—
206	#102	—	2	16	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
209	#97	—	2	8	no	—
210	#97	—	2	8	no	—
211	#97	—	2	4	no	—
212	#97	—	2	4	no	—
213	#97	—	2	2	no	—
214	#97	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	2	8	no	—
216	C₄×C₈	—	2	8	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	—	2	2	no	—
222	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	4	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	#41	—	4	4	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	8	2	no	—
248	C₂×D₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#126	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	2	2	no	—
282	M₁₆	—	2	4	no	—
283	M₁₆	—	2	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	#124	1	4	yes	—
288	M₁₆	#127	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	4	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	8	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	4	no	—
306	C₂×C₈	—	4	4	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
309	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	—	4	4	no	—
324	C₄²	—	8	2	no	—
325	C₄²	—	8	2	no	—
326	C₄²	#117	1	2	yes	—
327	C₄²	#117	1	2	yes	—
328	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
329	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₄²	#121	1	2	yes	—
331	C₄²	#121	1	2	yes	—
332	C₄²	#123	1	2	yes	—
333	C₄²	#123	1	2	yes	—
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	4	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	#529	1	2	yes	—
344	C₂³	#532	1	2	yes	—
345	Q₈	—	4	2	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
399	C₈	—	2	4	no	—
400	C₈	—	2	4	no	—
401	C₈	—	2	4	no	—
402	C₈	—	2	4	no	—
403	C₈	—	4	4	no	—
404	C₈	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	2	4	no	—
406	C₂²	—	2	4	no	—
407	C₂²	—	2	1	no	—
408	C₂²	—	2	1	no	—
409	C₂²	—	2	1	no	—
410	C₂²	—	2	1	no	—
411	C₂²	—	8	8	no	—
412	C₂²	—	8	2	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
417	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2860	1	2	yes	—
419	C₂²	#2861	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2956	1	2	yes	—
421	C₂²	#2957	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	2	no	—
423	C₄	—	2	2	no	—
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	2	no	—
426	C₄	—	4	8	no	—
427	C₄	—	8	4	no	—
428	C₄	—	8	2	no	—
429	C₄	#2293	1	2	yes	—
430	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
431	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
432	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#2854	1	2	yes	—
434	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
435	C₂	—	2	1	no	—
436	C₂	—	2	2	no	—
437	C₂	—	2	1	no	—
438	C₂	—	16	2	no	—
439	C₂	#14700	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#21071	1	1	yes	characteristic
441	C₂	#21072	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#21519	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1950	C₂	semidirect
5. C₂×#1929	C₂	semidirect
6. #20331	C₂	semidirect
7. #10934	C₂	semidirect
8. #10852	C₂	semidirect
9. #10835	C₂	semidirect
24. #1983	C₄	semidirect
25. #1982	C₄	semidirect
26. #1981	C₄	semidirect
85. #405	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21257	2
C₂×#1980	2
#21188	2
C₂×#1950	2
C₂×#1929	2
#20331	2
#10934	2
#10852	2
#10835	2